Risolvere questo limite solo con taylor!!!
Chi saprebbe risolvere questo limite utilizzando esclusivamente gli sviluppi di taylor? Con hospital si fa bene ma utilizzando taylor non mi viene..
$\lim_{x \to \1}(log(1+pi-4 arctg(x))/sin(1-x)$
Il problema è che $sin(1-x)$ si può sviluppare perchè l' argomento tende a zero e così pure lo sviluppo di $log(1+t)$ dove $t=pi-4arctgx)$ ma poi rimango con $arctgx$ che nn si può sviluppare e per quanto vada avnti cn lo sviluppo di $log(1+t)$ rimango sempre con una forma indeterminata..
Help me!
$\lim_{x \to \1}(log(1+pi-4 arctg(x))/sin(1-x)$
Il problema è che $sin(1-x)$ si può sviluppare perchè l' argomento tende a zero e così pure lo sviluppo di $log(1+t)$ dove $t=pi-4arctgx)$ ma poi rimango con $arctgx$ che nn si può sviluppare e per quanto vada avnti cn lo sviluppo di $log(1+t)$ rimango sempre con una forma indeterminata..
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Risposte
"SenzaCera":
Chi saprebbe risolvere questo limite utilizzando esclusivamente gli sviluppi di taylor? Con hospital si fa bene ma utilizzando taylor non mi viene..
$\lim_{x \to \1}(log(1+pi-4 arctg(x))/sin(1-x)$
Il problema è che $sin(1-x)$ si può sviluppare perchè l' argomento tende a zero e così pure lo sviluppo di $log(1+t)$ dove $t=pi-4arctgx)$ ma poi rimango con $arctgx$ che nn si può sviluppare e per quanto vada avnti cn lo sviluppo di $log(1+t)$ rimango sempre con una forma indeterminata..
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sviluppa l' arcotangente centrando taylor nel punto x = 1. Visto che il denominatore è infinitesimo di ordine 1 basta che ti fermi al primo ordine in tutti gli sviluppi.
Devi sviluppare intorno a $1$ la funzione $x\mapstopi-4arctan\ x$. Non puoi usare lo sviluppo preconfezionato della funzione arcotangente intorno allo zero, ma puoi applicare direttamente la definizione. ($f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+(f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$). Puoi arrestarti già al primo ordine. Al denominatore invece procedi in modo solito (se i miei calcoli sono corretti, arrestati al primo ordine pure qua). Ora al numeratore hai una cosa tipo $log(1+"qualcosa")$ e questo qualcosa tende a zero: sviluppa, ancora arrestandoti al primo ordine e hai finito. Fammi sapere se vuoi che sia più dettagliato.
[edit] scrivevo contemporaneamente a Covenant.
[edit] scrivevo contemporaneamente a Covenant.
Guarda scusa se rompo ma sinceramente continua a venirmi una forma indeterminta $0/0$ Però forse ho sbagliato i conti
$pi-4arctgx=pi- 4( arctgx_0+1/(1+x^2)(x-1)+o(x-1))$ Lo sviluppo dovrebbe essere questo centrato in $1$?
E poi lo sviluppo di $sin(1-x)$ lo posso centrare in $0$ facendo il cambio di variabile $t=1-x$?
E poi lo sviluppo all' ordine 1 di $log(1+qualcosa)$ è lo sviluppo stesso dell' $arctgx$ no?
Edit: l' ho risolto, faccio una piccola precisazione..l' ordine dell' $arctgx$ deve essere 2 sennò si annulla tutto... cmq grazie mille!!
$pi-4arctgx=pi- 4( arctgx_0+1/(1+x^2)(x-1)+o(x-1))$ Lo sviluppo dovrebbe essere questo centrato in $1$?
E poi lo sviluppo di $sin(1-x)$ lo posso centrare in $0$ facendo il cambio di variabile $t=1-x$?
E poi lo sviluppo all' ordine 1 di $log(1+qualcosa)$ è lo sviluppo stesso dell' $arctgx$ no?
Edit: l' ho risolto, faccio una piccola precisazione..l' ordine dell' $arctgx$ deve essere 2 sennò si annulla tutto... cmq grazie mille!!
Io veramente farei così, mi pare più lineare:
chiamiamo $f(x)=pi-4arctan\ x$. Sviluppiamo al primo ordine in un intorno di 1:
$f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+o((x-1))$, cioè $pi-4arctan\ x=0-4/2(x-1)+o((x-1))$. E così facendo la funzione di cui dobbiamo calcolare il limite è $log(1-2(x-1)+o((x-1)))/(-(x-1)+o((x-1)))$. Ora si può procedere in varie maniere, una possibilità è porre $y=x-1, y\to0$, otteniamo $log( 1-2y+o(y))/(-y+o(y))$, usiamo lo sviluppo $log(1+z)=z+o(z)$ per $z\to0$, e otteniamo allora
$(-2y+o(y)+o(-2y+o(y)))/(-y+o(y))=(-2y+o(y))/(-y+o(y))\to2$. (Ho usato il fatto che $o(-2y+o(y))=o(y)$).
chiamiamo $f(x)=pi-4arctan\ x$. Sviluppiamo al primo ordine in un intorno di 1:
$f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+o((x-1))$, cioè $pi-4arctan\ x=0-4/2(x-1)+o((x-1))$. E così facendo la funzione di cui dobbiamo calcolare il limite è $log(1-2(x-1)+o((x-1)))/(-(x-1)+o((x-1)))$. Ora si può procedere in varie maniere, una possibilità è porre $y=x-1, y\to0$, otteniamo $log( 1-2y+o(y))/(-y+o(y))$, usiamo lo sviluppo $log(1+z)=z+o(z)$ per $z\to0$, e otteniamo allora
$(-2y+o(y)+o(-2y+o(y)))/(-y+o(y))=(-2y+o(y))/(-y+o(y))\to2$. (Ho usato il fatto che $o(-2y+o(y))=o(y)$).
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