Risolvere questo integrale indefinito

[Donde1]

Ciao, scusate se vi assillo di domande, ma sto preparando un esame e sono un po' in difficoltà con alcune cose

Qualcuno saprebbe il procedimento migliore per risolvere l'integrale indefinito di:

1/(x^3-7x^2)dx

Grazie mille.

[rocco.g1]

bhe a prima vista non sembra difficile.
Dovresti scomporre e scrivere il denominatore come x^2(x-7) e poi usare la regola degli integrali fratti, dovresti usare A, B e C al numeratore e trovare il loro valore facendo il sistema, poi riscrivi le frazioni con i valori dei coefficienti A,B e C che hai trovato ed integri di nuovo, di solito come risultato vien fuori un logaritmo di qualcosa...

Sicuramente sul tuo libro di teoria sarà riportato questo procedimento, io non me lo ricordo alla perfezione, quindi evito di scrivere eventuali buffonate

[Sk_Anonymous]

In questi casi si procede sistematicamente per decomposizione in fratti semplici della funzione razionale che figura ad integranda. Prendiamo il tuo esempio... La teoria garantisce ch'esistono costanti a, b, c \in R tali che, q.o. in R: 1/(x^3-7x^2) = a/x + b/x^2 + c/(x-7). Banalmente b = -1/7 e c = 1/49. Valutando poi primo e secondo membro per x = 1, si trova infine -1/6 = a + b -c/6, ovvero a = (c-1)/6 - b (a te svolgere i conti!!!). Pertanto, q.o. in R: int dx/(x^3-7x^2) = a*int 1/x dx + b*int 1/x^2 dx + c*int 1/(x-7) dx = a*ln|x| -b/x + c*ln|x-7| + k, essendo k un'arbitraria costante additiva reale.

Saluti,
Salvatore Tringali

[Camillo]

E' un caso di integrazione di una funzione razionale : bisogna trasformare opportunamente la funzione integranda che, così com'è non è direttamente integrabile.
Trasformo mettendo in evidenza le radici, reali, del denominatore, cioè fattorizzando il denominatore :

1/(x^3-7x^2) = 1/[x^2*(x-7)]; si può dimostrare che una espressione del genere può essere scomposta nella somma di tre frazioni semplici così fatte :
A/x + B/x^2 +C/(x-7): si tratta ora di trovare i valori delle costanti A,B,C .
Per far questo scriviamo che :

1/(x^3-7x^2) = A/x +B/x^2 + C/(x-7)e eseguiamo i conti sul secondo membro ottenendo:
1/(x^3-7x^2) = [(A+C)x^2+(B-7A)x -7B]/(x^3-7x^2) e quindi per il principio di identità dei polinomi si arriva al sistema :

A+C = 0
B-7A = 0
-7B = 1

da cui : A = -1/49 ; B = - 1/7 ; C = 1/49 e si tratta quindi di integrare la funzione :

-(1/49)*(1/x) -(1/7)*(1/x^2)+(1/49)*(1/(x-7) il che è immediato.

Camillo

P.S. beh Donde non ti sono mancate le risposte !

[Donde1]

Siete davvero gentilissimi!

Potreste farmi un ultimissimo favore? Poi vi lascio in pace...
Ho capito il procedimento in questo caso particolare, ma vorrei applicarlo in futuro anche per tutti gli altri polinomi di questo tipo. Quindi, se potete, mi scrivereste la formula generale per la scomposizione di un polinomio fratto con il denominatore di terzo grado?

Grazie infinite...