Risolvere nel campo complesso la seguente equazione

[Delta Maximus]

Salve a tutti Propongo un esercizio riguardante i numeri complessi. Devo risolvere l'equazione data: $ ((z)^(2) + z) ^2=i $

Allora, prima di tutto la potenza 2 la porto dall'altra parte come radice e ottengo: $ ((z)^(2) + z) =root()(i) $

Poi calcolo di i : -modulo=1 e argomento= $ pi / 2 $

Considerando che la i è sotto radice, ho che: $ w(k)=cos(((pi / 2)+2kpi)/2)+isen(((pi / 2)+2kpi)/2) perK=0,1 $

Per K=0, $ w(0)= 1 / sqrt2+i / sqrt2 $
Per k=1, $ w(1)= -1 / sqrt2-i / sqrt2 $

A questo punto, ho pensato di fare la sostituzione z=x+iy, in modo da avere: $ x^2-y^2+x+2ixy+iy= pm (1 / sqrt2+i / sqrt2 ) $
E' corretto?

In questo modo potrei metterle poi a sistema: per w(0) $ { x^2-y^2+x=1 / sqrt2 , 2xy+y=1 / sqrt2 } $
Poi fare il sistema per w(1), ecc.
SI risolve così l'equazione? Grazie a tutti

[Nomadje]

A meno che tu abbia sbagliato dei calcoli, il procedimento è corretto. Stai solo attendo a saltellare dalla scrittura algebrica a quella polare, se ti senti sufficientemente sicuro di non perderti nei passaggi fallo pure, altrimenti ti consiglio di utilizzare una sola strategia. (nella stragrande maggioranza dei casi arrivi ad un risultato facilmente interpretabile utilizzando la scrittura algebrica)

Comunque è corretto!

[Delta Maximus]

Grazie Nomadje

[ciampax]

In realtà, una volta calcolate le $w_k$, potresti anche procedere più speditamente risolvendo le due equazioni di secondo grado

$z^2+z\pm w=0$ dove $w=\sqrt{2}/2(1+i)$

[Delta Maximus]

grazie ciampax

[robe921]

diciamo che, a mio avviso, risolvendo così l'esercizio non rispetteresti la traccia che chiede solo di "risolvere l'equazione" e non di passare dalla rappresentazione polare del numero complesso

[ciampax]

"robe92":diciamo che, a mio avviso, risolvendo così l'esercizio non rispetteresti la traccia che chiede solo di "risolvere l'equazione" e non di passare dalla rappresentazione polare del numero complesso

E dove sta scritta questa cosa?????