Risolvere limite con Hospital o/e MacLaurin

[Corazza1]

$ lim_(x -> +oo ) x^alpha (sqrt(x^2+2x+3)-x-1) $
La soluzione è 1, 0, e +oo rispettivamente per alpha = , > e < di 1

[vict85]

\(\displaystyle \lim\sqrt{x^2 + 2x+3} = \lim\sqrt{x^2(1 + 2x^{-1}+3x^{-2}) } = \lvert x\rvert\).

Perciò ricavi che è tutto uguale al limite di \(\displaystyle -x^{\alpha} \).

[Corazza1]

"vict85":\(\displaystyle \lim\sqrt{x^2 + 2x+3} = \lim\sqrt{x^2(1 + 2x^{-1}+3x^{-2}) } = \lvert x\rvert\).

Perciò ricavi che è tutto uguale al limite di \(\displaystyle -x^{\alpha} \).

scusami Vict ma mi permetto di dissentire, cioè capisco i tuoi passaggi ma la soluzione, almeno quella del libro deve essere allora sbagliata? ripeto il libro mette queste soluzioni:
y=1 -> alpha=1
y=0 -> alpha>1
y=+ $ oo $ -> alpha<1

[porzio1]

moltiplicando e dividendo per $sqrt(x^2+2x+3)+(x+1)$,si ha
$(2x^alpha)/(sqrt(x^2+2x+3)+x+1)$
dividendo numeratore e denominatore per $x$,si ha
$(2x^(alpha-1))/(sqrt(1+2/x+3/x^2)+1+1/x)$