Risolvere limite attraverso definizione
Ciao,
devo appunto risolvere dei limiti usando la definizione ma non riesco, non capisco come devo procedere.
So che:
1) $\lim_{n \to +\infty}a_n = l$
$AA \epsilon > 0$, $EE N = N(\epsilon)$, $AA n>N$, $|a_n - l| < \epsilon$
2) $\lim_{n \to +\infty}a_n = +\infty$
$AA M > 0$, $EE N = N(M) > 0$, $AA n>N$, $a_n > M$
3) $\lim_{n \to +\infty}a_n = -\infty$
$AA M > 0$, $EE N = N(M) > 0$, $AA n>N$, $a_n < - M$
Ora, se devo dire cosa significa $\lim_{n \to +\infty}a_n = 3$ attraverso la definizione, come faccio?
E' giusto prendere ciò che c'è scritto al punto 1) e sostituire $3$ al posto di $l$? Quindi verrebbe $|a_n - 3| < \epsilon$. E quindi? Come vado avanti?
$\lim_{n \to +\infty}(n^2 + 1)/(n) = +\infty$
Devo porre $(n^2 + 1)/(n) > M$, poi trovo n e poi?
$\lim_{n \to +\infty}(-n^8-3) = -\infty$
Devo porre $(-n^8-3) <-M$, trovo n e poi?
Bo, non capisco..Mi aiutate?
Grazie
devo appunto risolvere dei limiti usando la definizione ma non riesco, non capisco come devo procedere.
So che:
1) $\lim_{n \to +\infty}a_n = l$
$AA \epsilon > 0$, $EE N = N(\epsilon)$, $AA n>N$, $|a_n - l| < \epsilon$
2) $\lim_{n \to +\infty}a_n = +\infty$
$AA M > 0$, $EE N = N(M) > 0$, $AA n>N$, $a_n > M$
3) $\lim_{n \to +\infty}a_n = -\infty$
$AA M > 0$, $EE N = N(M) > 0$, $AA n>N$, $a_n < - M$
Ora, se devo dire cosa significa $\lim_{n \to +\infty}a_n = 3$ attraverso la definizione, come faccio?
E' giusto prendere ciò che c'è scritto al punto 1) e sostituire $3$ al posto di $l$? Quindi verrebbe $|a_n - 3| < \epsilon$. E quindi? Come vado avanti?
$\lim_{n \to +\infty}(n^2 + 1)/(n) = +\infty$
Devo porre $(n^2 + 1)/(n) > M$, poi trovo n e poi?
$\lim_{n \to +\infty}(-n^8-3) = -\infty$
Devo porre $(-n^8-3) <-M$, trovo n e poi?
Bo, non capisco..Mi aiutate?
Grazie
Risposte
Ciao. Potresti essere più chiaro su ciò che vuoi fare? Cioè sinceramente non ho capito cosa vuoi calcolare xD
Devo verificare quei limiti usando la definizione.. 
Ciao. La domanda che ti devi fare, ad esempio quando la successione diverge a $-\infty$, per dimostrare che il limite è proprio quello è:
se scelgo un qualunque numero $M$ (arbitrariamente "grande"), riesco a determinare un $N$ tale che $\forall n>N$ si abbia che $a_n< -M$, ossia si abbia che la successione "corre" sempre più verso $-\infty$?
se scelgo un qualunque numero $M$ (arbitrariamente "grande"), riesco a determinare un $N$ tale che $\forall n>N$ si abbia che $a_n< -M$, ossia si abbia che la successione "corre" sempre più verso $-\infty$?
"Plepp":
Ciao. La domanda che ti devi fare, ad esempio quando la successione diverge a $-\infty$, per dimostrare che il limite è proprio quello è:
se scelgo un qualunque numero $M$ (arbitrariamente "grande"), riesco a determinare un $N$ tale che $\forall n>N$ si abbia che $a_n< -M$, ossia si abbia che la successione "corre" sempre più verso $-\infty$?
Mmmh ok..ma poi come lo "dimostro"?
Fissando $M$ arbitrario e cercando di determinare un certo $N$ a partire dalla $a_n < - M$ (mi rifaccio a quello che a scritto Plepp).
Quindi faccio:
$-n^8 - 3 < - M$
$n^8 > M -3$
$n > \pm ^8\sqrt(M-3)$
Ora che so quanto vale $n$ come dico che quel limite tende a $-\infty$?
$-n^8 - 3 < - M$
$n^8 > M -3$
$n > \pm ^8\sqrt(M-3)$
Ora che so quanto vale $n$ come dico che quel limite tende a $-\infty$?
Sbagli a mettere il $\pm$, in quanto, dal momento che $n\in NN$, allora $n>0$ sempre...
Comunque adesso hai trovato il tuo $N(M)=(M-3)^{1/8}$ della definizione hai concluso!
Che vuol dire? E' un po delicato da interiorizzare come concetto...provo a spiegartelo (ovviamente quel che ti dico non è scevro da errori)
Ci stiamo chiedendo come si comporta la successione quando $n$ diventa sempre più grande, ossia tende a $+\infty$.
Se è vero che, per $n\to +\infty$, la successione va a $-\infty$ (ossia assume valori negativi man mano maggiori in modulo) deve valere la definizione di successione divergente negativamente, che in parole povere vuol dire questo:
se fisso un qualsiasi $M>0$ ("grande a piacere"), devo poter determinare un certo numero $N=N(M)$ (cioè un numero $N$ il cui valore dipende dal particolare $M$ fissato) tale che per tutti gli $n$ più grandi di $N$ si abbia che
\[a_n<-M \qquad (\ast)\]
quindi tale che per gli $n>N$ la successione sia sempre più "piccola" (con segno) dell'opposto di quel $M$ che avevamo fissato. Qui viene il bello: dal momento che, per definizione, tutto questo dev'essere vero per ogni possibile $M>0$, allora anche se prendi $M$ "grande quanto vuoi tu" deve valere la (*). Quindi, se il limite è verificato, $-M$ può essere piccolo (grande in modulo) quanto vuoi, ma la successione avrà valori sempre "piu piccoli" di $-M$, e dal momento che $-\infty$ è l'unico "numero" che ha questa proprietà (di essere piu piccolo di qualsiasi altro numero), il limite sarà proprio lui
,$-\infty$.
Spero di essere stato chiaro... Non ti offendere se in alcuni passaggi sono stato sin troppo banale
Comunque adesso hai trovato il tuo $N(M)=(M-3)^{1/8}$ della definizione
hai concluso!Che vuol dire? E' un po delicato da interiorizzare come concetto...provo a spiegartelo (ovviamente quel che ti dico non è scevro da errori)
Ci stiamo chiedendo come si comporta la successione quando $n$ diventa sempre più grande, ossia tende a $+\infty$.
Se è vero che, per $n\to +\infty$, la successione va a $-\infty$ (ossia assume valori negativi man mano maggiori in modulo) deve valere la definizione di successione divergente negativamente, che in parole povere vuol dire questo:
se fisso un qualsiasi $M>0$ ("grande a piacere"), devo poter determinare un certo numero $N=N(M)$ (cioè un numero $N$ il cui valore dipende dal particolare $M$ fissato) tale che per tutti gli $n$ più grandi di $N$ si abbia che
\[a_n<-M \qquad (\ast)\]
quindi tale che per gli $n>N$ la successione sia sempre più "piccola" (con segno) dell'opposto di quel $M$ che avevamo fissato. Qui viene il bello: dal momento che, per definizione, tutto questo dev'essere vero per ogni possibile $M>0$, allora anche se prendi $M$ "grande quanto vuoi tu" deve valere la (*). Quindi, se il limite è verificato, $-M$ può essere piccolo (grande in modulo) quanto vuoi, ma la successione avrà valori sempre "piu piccoli" di $-M$, e dal momento che $-\infty$ è l'unico "numero" che ha questa proprietà (di essere piu piccolo di qualsiasi altro numero), il limite sarà proprio lui
,$-\infty$.Spero di essere stato chiaro... Non ti offendere se in alcuni passaggi sono stato sin troppo banale
"Plepp":
Sbagli a mettere il $\pm$, in quanto, dal momento che $n\in NN$, allora $n>0$ sempre...
Comunque adesso hai trovato il tuo $N(M)=(M-3)^{1/8}$ della definizione
Ah è tutto qui? Meglio
Quindi ogni volta trovo $n$ e ho finito l'esercizio..
Grazie mille!
Ho modificato il mio post precedente, spero ti possa servire Ciao
Ciao
"Plepp":
Ho modificato il mio post precedente, spero ti possa servire
Grazie, mi è utile di sicuro
"Plepp":
Spero di essere stato chiaro... Non ti offendere se in alcuni passaggi sono stato sin troppo banale
E chi si offende? Hai fatto più che bene!
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