Risolvere l'equazione differenziale lineare

[smaug1]

$y' = \frac{xy + 1}{x^2}$ essendo lineare devo ricondurmi alla forma $y' + ay = f(x)$ ma come si può fare? $f(x) = 1 / x^2$ ?

[smaug1]

intuizione geniale

$y' - y / x = 1 / x^2$

[smaug1]

Quindi $y(x) = e^{\log|x|} [\int e^{\log|x|} \frac{1}{x^2}]$ giusto? ora come posso togliere quel modulo? comunque $e^{\log|x|} = |x|$

Mi viene $y(x) = - 1 / 2x + c$

[MrMeaccia]

"davidedesantis": $y(x) = e^{\log|x|} [\int e^{\log|x|} \frac{1}{x^2}]$

la formula corretta è $y(x) = e^{\log|x|} [\int e^{\-log|x|} \frac{dx}{x^2} +c]$
qundi ottieni
$y(x)=|x|[int(e^(ln|x|^(-1))/x^2 dx) +c]=|x|[int (dx/(|x|x^2))+c]=|x|[int (dx/(x^3))+c]=$
$=|x|[-1/(2x^2)+c]= -1/(2x) + cx$

[smaug1]

"MrMeaccia":[quote="davidedesantis"] $y(x) = e^{\log|x|} [\int e^{\log|x|} \frac{1}{x^2}]$

la formula corretta è $y(x) = e^{\log|x|} [\int e^{\-log|x|} \frac{dx}{x^2} +c]$
qundi ottieni
$y(x)=|x|[int(e^(ln|x|^(-1))/x^2 dx) +c]=|x|[int (dx/(|x|x^2))+c]=|x|[int (dx/(x^3))+c]=$
$=|x|[-1/(2x^2)+c]= -1/(2x) + cx$[/quote]


Grazie! Certo la costante io l'ho messa alla fine...come fai a togliere il modulo?

[MrMeaccia]

ehm... non so se è giusto.. però ho pensato che $|x|>0$ quindi quando vai a fare il prodotto con $x^2>0 , AA x in RR$ ottieni sempre una quantità positiva (?!?!) ed è per quello che ho tolto di mezzo il valore assoluto!
Mentre quando fai $|x|c$ non hai nessun problema perché puoi tranquillamente prendere una nuova costante nel caso fosse negativo..
vogloi dire.. $-xc_1=x c_2$ con $c_2=-c_1$.
Ti torna?!?! (perché non sono molto sicuro!)