Risolvere la seguente serie

[rubotubo]

Salve, data la seguente serie:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{k} (7^{k-i}4^i) \)
come arrivo alla seguente formula ?
\(\displaystyle \frac{4}{3}(7^k-4^k) \)

[pilloeffe]

Ciao rubotubo,

Innanzitutto non è una serie, ma una somma per $i $ che va da $1 $ a $k $...
Si tratta della somma di una progressione geometrica:

$ sum_{i=1}^{k} (7^{k-i}4^i) = 7^k \cdot sum_{i=1}^{k} (7^{-i}4^i) = 7^k \cdot sum_{i=1}^{k} (4/7)^i $

Ora, osservando che

$ sum_{i=1}^{k} (4/7)^i = sum_{i=0}^{k} (4/7)^i - 1$

ed essendo ben noto che

$ sum_{i=0}^{k} (4/7)^i = frac{1 - (4/7)^{k + 1}}{1 - 4/7}$

si ha:

$ sum_{i=1}^{k} (4/7)^i = frac{1 - (4/7)^{k + 1}}{1 - 4/7} - 1 = frac{1 - (4/7)^{k + 1} - 1 + 4/7}{1 - 4/7} = frac{4/7 - (4/7)^{k + 1}}{1 - 4/7} = 4/3 [1 - (4/7)^k] $

Quindi in definitiva si ha:

$ sum_{i=1}^{k} (7^{k-i}4^i) = 7^k \cdot sum_{i=1}^{k} (7^{-i}4^i) = 7^k \cdot sum_{i=1}^{k} (4/7)^i = 4/3 (7^k - 4^k) $