Risolvere la disequazione

[ivandimeo]

salve avrei bisogno del vostro aiuto....
si studi la seguente disequazione
$\sqrt{2\pi -arccos | \frac{x}{x-1} |}\cdot log_{\frac{1}{2}} ( 4^{\frac{x}{2}+1}+4\cdot 4^{x}+1 )\leq 0$
grazie..

[gio73]

Ciao, benvenuto sul forum.
Che cosa sei riuscito a fare? Dove ti blocchi?

[ivandimeo]

non riesco a risolvere il primo membro, ovvero
$\sqrt{2\pi -arccos | \frac{x}{x-1} |}$
per il secondo membro considero:
$4^{\frac{x}{2}+1}= 4^{\frac{x}{2}}\cdot 4^1 = 4 \cdot 4^{\frac{x}{2}}$
quindi posto
$4^{\frac{x}{2}}= t$
ottengo
$log_{\frac{1}{2}} ( 4t+4t^2+1 )$
che a sua volta diventa
$4t+4t^2+1 > 1 $
ditemi se è sbagliato.. e aiutatemi col primo membro.. grazie..

[gio73]

per quanto riguarda il primo membro direi che essendo una radice quadrata dovrebbe essere sempre maggiore o uguale a 0, resta da vedere quando il radicando è maggiore o uguale a 0, quindi

$2pi-arcos|x/(x-1)|>=0$

almeno credo, tu che ne pensi?

[ivandimeo]

credo di si...
quindi devo risolvere
$-arccos|x/(x-1)|>=2pi$
o sbaglio?? ci sono altre condizioni da imporre??
inoltre volevo sapere se per il secondo membro che ho fatto ci sono errori...
grazie..

[gio73]

"ivandimeo":credo di si...
quindi devo risolvere
$-arccos|x/(x-1)|>=2pi$
o sbaglio?? ci sono altre condizioni da imporre??

bè le solite:
il denominatore di una frazione diverso da 0, quindi $x!=1$
l'argomento dell'arcocoseno compreso tra $-1$ e $1$
spero non mi sfugga niente

[ivandimeo]

ok... scusa ma non riesco proprio a risolverla questa disequazione.. mi potresti aiutare... grazie

[gio73]

l'unico modo è iniziare con calma dalla parte più interna, quindi l'argomento dell'arcocoseno. Devi però controllare molto bene quello che scrivo perché faccio molte sviste.
Allora $|x/(x-1)|$, come abbiamo detto $x!=+1$ altrimenti si annulla il denominatore, poi la frazione non deve mai essere maggiore di +1 o minore di -1
cosa succede se x>+1? che la frazione è positiva ed è una frazione impropria (numeratore più grande del denominatore) e quindi maggiore di 1, dunque la x non devono mai essere maggiori o uguali a +1, vado bene fino qui?
Se $x=0$ ci va bene perché il tutto viene 0 e l'arco il cui coseno è 0 è $pi/2$
se $x<0$ siamo a posto perché la frazione viene positiva e sempre propria
Vuoi provare tu a vedere cosa succede quando x è compreso tra 0 e 1?
caso $0

Cita

Segnala

[ivandimeo]

scusa ma non ho capito... se mi spieghi risolvendo la disequazione..
grazie

[gio73]

Allora...
se x è compreso tra 0 e 1 significa che il numeratore è positivo e il denominatore negativo, di conseguenza la frazione diventa negativa, ricordandoci poi che è compresa nel valore assoluto sappiamo che diventerà positiva.
Quindi per togliere le $||$, possiamo scrivere $x/(1-x)$, giusto?

Ora preoccupiamoci del valore numerico: abbiamo bisogno che il valore sia minore o uguale a 1, quindi
$x/(1-x)<=1$
$x<=1-x$
$2x<=1$
$x<=1/2$

dunque ci vanno bene tutti i valori di x che sono minori o uguali a $1/2$, sei d'accordo?

[gugo82]

@ ivandimeo: Quella postata è quasi la stessa disequazione già postata qui e qui: è un caso?

[ivandimeo]

sono d'accordo... ma qual $2pi$ che fine ha fatto?
ho seguito il tuo ragionamento e lo condivido ma ancora
non ho capito come devo fare per risolvere questa disequazione
grazie...

[gio73]

ma non hai letto il post di gugo qui sopra?

[ivandimeo]

no è solo un caso.. se mi vuoi aiutare.. grazie