Risolvere il sistema, mi aiutate?
Ciao a tutti, so di chiedere una stupidata ma mi perdo in qualcosa che non mi fa tornare il risultato. Devo risolvere il seguente sistema:
$ { ( x^2-y^2=4 ),( 2xy=3 ):} $
Io trovo che ad esempio:
$ y=x-2 $ (dalla prima equazione)
$ 2x^2-4x-3=0 $ (sostituendo $ y=x-2 $ nella seconda equazione)
Quindi trovo le due y e qui mi blocco perché vedo che i risultati sono diversi. Mi aiutate?
Questo è la fine di un esercizio sui complessi. Sono sicuro che il sistema è impostato correttamente in quanto ho uno svolgimento parziale già fatto dal prof.
Grazie mille a tutti
$ { ( x^2-y^2=4 ),( 2xy=3 ):} $
Io trovo che ad esempio:
$ y=x-2 $ (dalla prima equazione)
$ 2x^2-4x-3=0 $ (sostituendo $ y=x-2 $ nella seconda equazione)
Quindi trovo le due y e qui mi blocco perché vedo che i risultati sono diversi. Mi aiutate?
Questo è la fine di un esercizio sui complessi. Sono sicuro che il sistema è impostato correttamente in quanto ho uno svolgimento parziale già fatto dal prof.
Grazie mille a tutti
Risposte
"sam1709":
Ciao a tutti, so di chiedere una stupidata ma mi perdo in qualcosa che non mi fa tornare il risultato. Devo risolvere il seguente sistema:
$ { ( x^2-y^2=4 ),( 2xy=3 ):} $
Ok, let's go.
Io trovo che ad esempio:
$ y=x-2 $ (dalla prima equazione)
Non credo, dalla prima hai
$y^2=x^2-4$
dopo un cambio di segno, che da luogo a due alternative poco agevoli da verificare, cioè
$y= \pm \sqrt(x^2-4)$
Meglio di no, inutile aggiungere radicali, in genere portano a mal di pancia.
Sapendo che $y=0$ non concorre a dare una soluzione, meglio che sostituisci dalla seconda per esempio
$x=3/(2y)$
da cui nella prima
$9/(4y^2)-y^2=4$
cioè
$9-4y^4=16y^2$
ovvero
$4y^4+16y^2-9=0$
che è una biquadratica se non ricordo male il nome e si risolve facilmente. Ora, aumentando il grado del sistema di proposito probabilmente vengono soluzioni in più che in genere non sono accettabili o sono doppioni di quelle di partenza. Basta testarle. L'importante è che non ho fatto un casino sui calcoli, cosa che può essermi tranquillamente successa...!
...
Ricordo anche un modo "pazzo" di risolverlo, ponendo $x=cos(t)$ e $y=sin(t)$ in modo da avere $cos(2t)$ al numeratore e $sin(2t)$ al denominatore. Però non ne sono sicuro ma erano modi da ubriachi di risolvere sistemi di questo tipo...
Intanto ti ringrazio per la risposta che hai dato, però non mi tornano i risultati alla fine...
sinceramente non ne ho idea di che c'è di sbagliato
sinceramente non ne ho idea di che c'è di sbagliato
Perseverando in quanto ho scritto - spero non nel senso di "perseverare è diabolico" ovviamente"
Cioè
$y^2= \frac{-8\pm \sqrt(64+36)}{4}=-2 \pm 5/2$
da cui l'unica soluzione è quella positiva, cioè
$y^2=-2+5/2=1/2$
ovvero
$y= \pm \frac{\sqrt(2)}{2}$
e quindi hai due soluzioni $(\frac{3 \sqrt(2)}{2};\frac{\sqrt(2)}{2})$ e $(-\frac{3 \sqrt(2)}{2};-\frac{\sqrt(2)}{2})$.
Anche se non è garanzia di sicurezza, wolframalpha mi dà parzialmente ragione se inserisco l'equazione che ho trovato in $y$. Per il sistema non lo so perché non so come scriverlo su wolframalpha...
"Il sottoscritto":
Sapendo che $y=0$ non concorre a dare una soluzione, meglio che sostituisci dalla seconda per esempio
$x=3/(2y)$
da cui nella prima
$9/(4y^2)-y^2=4$
cioè
$9-4y^4=16y^2$
ovvero
$4y^4+16y^2-9=0$
che è una biquadratica se non ricordo male il nome e si risolve facilmente.
Cioè
$y^2= \frac{-8\pm \sqrt(64+36)}{4}=-2 \pm 5/2$
da cui l'unica soluzione è quella positiva, cioè
$y^2=-2+5/2=1/2$
ovvero
$y= \pm \frac{\sqrt(2)}{2}$
e quindi hai due soluzioni $(\frac{3 \sqrt(2)}{2};\frac{\sqrt(2)}{2})$ e $(-\frac{3 \sqrt(2)}{2};-\frac{\sqrt(2)}{2})$.
Anche se non è garanzia di sicurezza, wolframalpha mi dà parzialmente ragione se inserisco l'equazione che ho trovato in $y$. Per il sistema non lo so perché non so come scriverlo su wolframalpha...
Hai fatto giusto, i risultati mi tornano. Avevo sbagliato io un conto stupido che mi sballava tutto alla fine.
Grazie per il supporto
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