Risolvere il seguente limite?

[Omi1]

Salve volevo chiedere a voi esperti, se esiste un altro modo per risolvere questo limite che non sia scrivere il coseno tramite la serie di Taylor di punto iniziale pi/2 e de l'Hopital. Grazie a tutti in anticipo.

$ lim_(x -> pi/2) (x-pi/2)/cosx $

[Mephlip]

Puoi usare l'identità $\cos x= \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ e sostituire $t:=\frac{\pi}{2}-x$.

P.S.: I limiti si calcolano, non si risolvono. Non lo dico per sminuirti, ci mancherebbe; è sempre meglio esprimersi correttamente, specialmente in contesti come un esame!

[Omi1]

Ok ti ringrazio!

[Mephlip]

Prego! In realtà c'è anche un altro modo: hai che $\cos \frac{\pi}{2}=0$, pertanto
$$\lim_{x \to \pi/2} \frac{\frac{\pi}{2}-x}{\cos x}=-\lim_{x \to \pi/2} \left(\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}\right)^{-1}=-\lim_{x \to \pi/2} \left(\frac{\cos x - \cos \frac{\pi}{2}}{x-\frac{\pi}{2}}\right)^{-1}$$
$$=-\left \{\left[\frac{\text{d}}{\text{d}x} \cos x \right]_{x=\pi/2} \right \}^{-1}=-\left(- \sin \frac{\pi}{2}\right)^{-1}=1$$

[pilloeffe]

Ciao Omi,

"Omi": $ \lim_{x \to pi/2} (x-pi/2)/cosx $

Il metodo più semplice, a parte de l'Hopital, mi pare sia porre $t := x - \pi/2 $, sicché per $ x \to pi/2 \implies t \to 0 $ e quindi si ha:

$ \lim_{x \to pi/2} (x-pi/2)/cosx = \lim_{t \to 0} t/cos(t + \pi/2) = \lim_{t \to 0} t/(- sin t) = - 1 $

[Mephlip]

"Mephlip":
$$\lim_{x \to \pi/2} \frac{\frac{\pi}{2}-x}{\cos x}$$

Ho invertito numeratore e denominatore, il limite è $-1$ come ha riportato pilloeffe!
Comunque, il procedimento con la derivata è corretto (se uno scrive il numeratore giusto ); scusa per l'errore, Omi.

[Omi1]

Si me ne ero accorto, ma l'importante è aver capito. Vi ringrazio.