Risolvere il problema di Cauchy
Salve a tutti! Ho bisogno di un aiuto riguardo un esercizio su un problema di Cauchy che sto cercando di risolvere, ma proprio non riesco a capire quale potrebbe essere la possibile soluzione 
.
L'esercizio è il seguente:
Si scriva l'equazione in forma implicita,della curva che rappresenta la soluzione del seguente problema di Cauchy.
$ y'(x)=sqrt(x+y) $ e come condizione iniziale y(0)=1
Per prima cosa ho sostituitola variabile y(x) con z(x) ponendo $ z(x)=sqrt(x+y) $
Quindi l'equazione l'ho riscritta sotto questa nuova forma:
$ 2z(x) * z'(x) -1=z(x) rArr 2z(x) * z'(x)=z(x)+1 $
Ed ho svolto equazione a variabili separabili:
$ z * z' // z+1 =1//2 $
Integrando mi trovo:
$ int (z // z+1) dz =int (1//2) dx $
$ int (z+1 // z+1) dz + int (-1//z+1) dz = (1//2) x + c $
$ z-log |z+1| =(1//2)x+c $
$ e^{z} - |z+1| =e^[(1//2)x+c]=e^[(1//2)x] * e^{c} $
Oltre questo punto mi sono fermato dato che mi sono trovato questi due fattori di z che mi hanno un pò sorpreso, potete aiutarmi?
.L'esercizio è il seguente:
Si scriva l'equazione in forma implicita,della curva che rappresenta la soluzione del seguente problema di Cauchy.
$ y'(x)=sqrt(x+y) $ e come condizione iniziale y(0)=1
Per prima cosa ho sostituitola variabile y(x) con z(x) ponendo $ z(x)=sqrt(x+y) $
Quindi l'equazione l'ho riscritta sotto questa nuova forma:
$ 2z(x) * z'(x) -1=z(x) rArr 2z(x) * z'(x)=z(x)+1 $
Ed ho svolto equazione a variabili separabili:
$ z * z' // z+1 =1//2 $
Integrando mi trovo:
$ int (z // z+1) dz =int (1//2) dx $
$ int (z+1 // z+1) dz + int (-1//z+1) dz = (1//2) x + c $
$ z-log |z+1| =(1//2)x+c $
$ e^{z} - |z+1| =e^[(1//2)x+c]=e^[(1//2)x] * e^{c} $
Oltre questo punto mi sono fermato dato che mi sono trovato questi due fattori di z che mi hanno un pò sorpreso, potete aiutarmi?
Risposte
Scrivi meglio le formule (clicca sulla parola formule per vedere come fare).
Grazie per l'avvertimento spero che ora vadano bene 
Guarda che
[tex]$e^{z-\log|z+1|}=e^z\cdot e^{-\log|z+1|}=\frac{e^z}{z+1}$[/tex]
In ogni caso, quando usi sostituzioni di questo, è sempre possibile che la soluzione risulti in forma implicita e che sia poco probabile riuscire a trovarne una in forma esplicita.
[tex]$e^{z-\log|z+1|}=e^z\cdot e^{-\log|z+1|}=\frac{e^z}{z+1}$[/tex]
In ogni caso, quando usi sostituzioni di questo, è sempre possibile che la soluzione risulti in forma implicita e che sia poco probabile riuscire a trovarne una in forma esplicita.
Cavolo che sbadato hai proprio ragione la cosa più assurda e che l'ho fatto al secondo membro mentre al primo membro vedendo il logaritmo sono andato direttamente a toglierlo 
. In ogni caso non dovrebbe ancora rimanere il modulo in (z+1), una volta ricavata questa soluzione del tipo:
$ e^{z}// |z+1| =e^{(1//2)x} * e^{c} $
Togliendo il modulo dovrei avere una cosa del genere ponendo $ a=pm e^{c} $ :
$ e^{z}// z+1 =e^{(1//2)x} * a $
Ma ora come faccio a sostituire questa soluzione che mi sono trovato in y'=2z*z'-1 ??
. In ogni caso non dovrebbe ancora rimanere il modulo in (z+1), una volta ricavata questa soluzione del tipo:$ e^{z}// |z+1| =e^{(1//2)x} * e^{c} $
Togliendo il modulo dovrei avere una cosa del genere ponendo $ a=pm e^{c} $ :
$ e^{z}// z+1 =e^{(1//2)x} * a $
Ma ora come faccio a sostituire questa soluzione che mi sono trovato in y'=2z*z'-1 ??
Ehm... se hai posto $z=\sqrt{x+y}$ allora hai
[tex]$\frac{e^{\sqrt{x+y(x)}}}{\sqrt{x+y(x)}+1}=c e^{x/2}$[/tex]
che come ti dicevo prima non è una funzione che puoi rendere esplicita. La soluzione risulta dunque in forma implicita.
[tex]$\frac{e^{\sqrt{x+y(x)}}}{\sqrt{x+y(x)}+1}=c e^{x/2}$[/tex]
che come ti dicevo prima non è una funzione che puoi rendere esplicita. La soluzione risulta dunque in forma implicita.
Hai ragione u.u.Sei stato chiarissimo 
.Ti ringrazio per l'aiuto anche perchè era la prima volta che mi trovavo un'equazione che aveva una soluzione del genere ed ero poco sicuro sul come muovermi ma grazie al tuo aiuto ora è tutto chiaro . Grazie ancora ora vado a finire qualche altro esercizio di analisi 2 che tra poco ho l'esame u.u. Ciao
.Ti ringrazio per l'aiuto anche perchè era la prima volta che mi trovavo un'equazione che aveva una soluzione del genere ed ero poco sicuro sul come muovermi ma grazie al tuo aiuto ora è tutto chiaro . Grazie ancora ora vado a finire qualche altro esercizio di analisi 2 che tra poco ho l'esame u.u. Ciao
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