Risolvere equazione differenziale del 2° ordine
Ragazzi chi di voi potrebbe svolgere dettagliatamente questa equazione differenziale del 2° ordine? Grazie mille in anticipo a tutti.
\(\displaystyle y''+3y'+3y=e^x(2x+7) \)
\(\displaystyle y''+3y'+3y=e^x(2x+7) \)
Risposte
Ponendo $y=ze^x$ si trova
\( \displaystyle (z''+2z'+z)e^x+3(z'+z)e^x+3ze^x=e^x(2x+7) \Rightarrow z''+5z'+7z=2x+7 \)
Per le soluzioni dell'equazione omogenea basta risolvere l'equazione di secondo grado data dal primo membro, e si ottiene
$Ae^{(-5/2-sqrt{3}/2 i)x}+Be^{(-5/2+sqrt{3}/2 i)x}=e^{-5/2 x}[C cos(sqrt{3}/2 x)+D sin(sqrt{3}/2 x)]$
mentre per una soluzione particolare si può imporre che $z$ sia un polinomio: da $z=lambda x+mu$, sostituendo ed uguagliando i coefficienti, si trovano due equazioni lineari che portano a $z=2/7 x+39/49$.
Mettendo tutto insieme, l'insieme delle soluzioni è $y=e^x(2/7 x+39/49)+e^{-3/2 x}[C cos(sqrt{3}/2 x)+D sin(sqrt{3}/2 x)]$.
\( \displaystyle (z''+2z'+z)e^x+3(z'+z)e^x+3ze^x=e^x(2x+7) \Rightarrow z''+5z'+7z=2x+7 \)
Per le soluzioni dell'equazione omogenea basta risolvere l'equazione di secondo grado data dal primo membro, e si ottiene
$Ae^{(-5/2-sqrt{3}/2 i)x}+Be^{(-5/2+sqrt{3}/2 i)x}=e^{-5/2 x}[C cos(sqrt{3}/2 x)+D sin(sqrt{3}/2 x)]$
mentre per una soluzione particolare si può imporre che $z$ sia un polinomio: da $z=lambda x+mu$, sostituendo ed uguagliando i coefficienti, si trovano due equazioni lineari che portano a $z=2/7 x+39/49$.
Mettendo tutto insieme, l'insieme delle soluzioni è $y=e^x(2/7 x+39/49)+e^{-3/2 x}[C cos(sqrt{3}/2 x)+D sin(sqrt{3}/2 x)]$.
Grazie per la risposta. Ma sinceramente non ho cpt che metodo hai utilizzato. Potresti spiegarmi??
si chiama metodo di somiglianza, se cerchi tra gli appunti (perchè sicuramente il prof lo avrà detto) o online trovi valanghe di informazioni a riguardo
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