Risolvere $\alpha x+ \beta ln(1-\gamma x)=0$
Come da titolo sarei interessato a risolvere l'equazione $\alpha x+ \beta ln(1-\gamma x)=0$ (per la cronaca, mi viene fuori studiando il moto di un proiettile tenendo conto delle forze di attrito). Non credo proprio che si possa risolvere per via analitica, sicché mi chiedevo se non ci fosse un modo per ottenere una approssimazione numerica (chiaramente in funzione dei parametri). Aiutini et similia saranno grandemente apprezzati.
Grazie in anticipo e saluti.
Ob
P.S. Se involontariamente ho infranto una qualsiasi regola del forum chiedo venia...
Grazie in anticipo e saluti.
Ob
P.S. Se involontariamente ho infranto una qualsiasi regola del forum chiedo venia...
Risposte
Affinché l'equazione abbia almeno una soluzione che passi per il punto $x_0$ al tempo $t=0$ devi richiedere che $\alpha - (\beta \gamma)/(1-\gamma x_0)$, ossia che $x_0!=(\alpha -\beta \gamma)/(\alpha \gamma)$ (per il Teorema del Dini); in tali ipotesi riesci a provare l'esistenza della soluzione. Anzi, se lasci $x_0=x$ libero di variare, la relazione $x!=(\alpha -\beta \gamma)/(\alpha \gamma)$ individua tutti e soli i "punti iniziali" per cui è possibile determinare univocamente le soluzioni al tuo problema.
(Ovviamente qualcuno che controlli i calcoli è sempre gradito.
)
Per via analitica non credo sia possibile risolvere l'equazione, che d'altra parte è pure un'equazione in cui non compare il tempo $t$.
Ci sono molti programmi che determinano graficamente le soluzioni di un'equazione differenziale oppure di un'equazione come la tua: ad esempio MatLab (con SimuLink) oppure Mathematica.
(Ovviamente qualcuno che controlli i calcoli è sempre gradito.
)Per via analitica non credo sia possibile risolvere l'equazione, che d'altra parte è pure un'equazione in cui non compare il tempo $t$.
Ci sono molti programmi che determinano graficamente le soluzioni di un'equazione differenziale oppure di un'equazione come la tua: ad esempio MatLab (con SimuLink) oppure Mathematica.
Temo di non capire.
Che cosa?
Ecco, qui ho fatto un errore a mettere la versione "semplificata" del problema, in cui alcuni paramteri decisamente brutti sono sostituiti con più eleganti lettere greche. Ma dalle condizioni del problema fisico non devo provare l'esistenza della soluzione: so che la funzione si annulla in un punto diverso da $x_0=0$ perchè (per dire) $\beta$ è sempre positivo.
Il tempo potrei anche farlo riapparire ma non sarebbe di grande aiuto: alla fine di tutti i miei calcoli ho ottenuto le equazioni per trovare $x$ e $y$ in funzione di $t$ e sostituendo ho ottenuto un'equazione in forma non parametrica. Il guaio deriva dalla funzione $y(t)$ che non è risolvibile per via analitica.
Vedo di spiegare che cosa intendevo con "soluzione". Ho tentato di usare l'algoritmo di Newton (in maniera un po' naïve, se volete) prendendo come valore $x$ di partenza un valore a caso tra $x_0=\frac{\alpha -\beta \cdot \gamma}{\alpha \gamma}$ in cui si ha il massimo della funzione e l'estremo superiore dell'insieme di definizione $x_1=\frac{1}{\gamma}$ ; per semplificare diciamo il punto medio tra di essi. Applicazione iterata dell'algoritmo e il problema è risolto. I guai derivano dal fatto che già al secondo passaggio viene una formula per il valore approssimato dello zero della funzione decisamente troppo brutto.
Spero di essermi spiegato bene e di non aver detto troppe idiozie (è l'ora, abbiate pietà). Non sono del tutto sicuro della possibilità di risolvere praticamente il problema ma sarei curioso di vedere altri tentativi di risoluzione.
Grazie a Gugo e a chiunque altro decida di intervenire con consigli, idee e precisazioni.
Salumi, saluti e quant'altro.
Ob
"Gugo82":
devi richiedere che $\alpha - (\beta \gamma)/(1-\gamma x_0)$
Che cosa?
in tali ipotesi riesci a provare l'esistenza della soluzione.
Ecco, qui ho fatto un errore a mettere la versione "semplificata" del problema, in cui alcuni paramteri decisamente brutti sono sostituiti con più eleganti lettere greche. Ma dalle condizioni del problema fisico non devo provare l'esistenza della soluzione: so che la funzione si annulla in un punto diverso da $x_0=0$ perchè (per dire) $\beta$ è sempre positivo.
Per via analitica non credo sia possibile risolvere l'equazione, che d'altra parte è pure un'equazione in cui non compare il tempo $t$.
Il tempo potrei anche farlo riapparire ma non sarebbe di grande aiuto: alla fine di tutti i miei calcoli ho ottenuto le equazioni per trovare $x$ e $y$ in funzione di $t$ e sostituendo ho ottenuto un'equazione in forma non parametrica. Il guaio deriva dalla funzione $y(t)$ che non è risolvibile per via analitica.
Ci sono molti programmi che determinano graficamente le soluzioni di un'equazione differenziale oppure di un'equazione come la tua: ad esempio MatLab (con SimuLink) oppure Mathematica.
Vedo di spiegare che cosa intendevo con "soluzione". Ho tentato di usare l'algoritmo di Newton (in maniera un po' naïve, se volete) prendendo come valore $x$ di partenza un valore a caso tra $x_0=\frac{\alpha -\beta \cdot \gamma}{\alpha \gamma}$ in cui si ha il massimo della funzione e l'estremo superiore dell'insieme di definizione $x_1=\frac{1}{\gamma}$ ; per semplificare diciamo il punto medio tra di essi. Applicazione iterata dell'algoritmo e il problema è risolto. I guai derivano dal fatto che già al secondo passaggio viene una formula per il valore approssimato dello zero della funzione decisamente troppo brutto.
Spero di essermi spiegato bene e di non aver detto troppe idiozie (è l'ora, abbiate pietà). Non sono del tutto sicuro della possibilità di risolvere praticamente il problema ma sarei curioso di vedere altri tentativi di risoluzione.
Grazie a Gugo e a chiunque altro decida di intervenire con consigli, idee e precisazioni.
Salumi, saluti e quant'altro.
Ob
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