Risoluzioni di equazioni integrali

[Peano1]

Salve ragazzi, devo risolvere la seguente equazione integrale

$ f(x)=e^x+int_0^xe^(x-t)f(t)dt $

ora siccome a lezione abbiamo visto la teoria per le equazioni di Fredholm - Volterra, mi trovo meglio a scriverla come

$ f(x)-int_0^xe^(x-y)f(y)dy=e^x $ e quindi come $ f(x)-int_0^xe^x*e^-yf(y)dy=e^x $ così che ho

1- $ K(x,y)=e^x*e^-y $ separabile con
$ p(x)=e^x $ $ q(y)=e^-y $

e potrei riscriverlo come un problema algebrico se faccio

$ C=intq(x)f(x)dx, A=intq(x)p(x),G=intq(x)g(x) $
$ C=inte^-xf(x)dx, A=inte^-xe^x=int1,G=inte^-x*e^x=int1 $
$ C-AC=G $
$ C=G/(1-A) $ cioè
$ int_0^xe^-xf(x)=x/(1-x) $

non so se ho scritto una cosa che regge....

[gugo82]

"Peano":Salve ragazzi, devo risolvere la seguente equazione integrale

$ f(x)=e^x+int_0^xe^(x-t)f(t)dt $

ora siccome a lezione abbiamo visto la teoria per le equazioni di Fredholm - Volterra, mi trovo meglio a scriverla come

$ f(x)-int_0^xe^(x-y)f(y)dy=e^x $ e quindi come $ f(x)-int_0^xe^x*e^-yf(y)dy=e^x $ così che ho

1- $ K(x,y)=e^x*e^-y $ separabile con
$ p(x)=e^x $ $ q(y)=e^-y $

e potrei riscriverlo come un problema algebrico se faccio

$ C=intq(x)f(x)dx, A=intq(x)p(x),G=intq(x)g(x) $
$ C=inte^-xf(x)dx, A=inte^-xe^x=int1,G=inte^-x*e^x=int1 $
$ C-AC=G $
$ C=G/(1-A) $ cioè
$ int_0^xe^-xf(x)=x/(1-x) $

non so se ho scritto una cosa che regge....

Se regge o no non lo capisci finché non concludi i calcoli, trovi la $f$ e provi a verificare che essa sia soluzione del problema... Fermarsi a metà dell'opera è del tutto inutile.

In questo caso, però, mi sembra che fai cose troppo complicate per il problema che stai maneggiando.

"Peano":devo risolvere la seguente equazione integrale

$ f(x)=e^x+int_0^xe^(x-t)f(t)dt $

Di solito, il modo comodo di risolvere una equazione integrale è scriverla in forma differenziale... Ma per fare ciò hai bisogno di un po' di regolarità (che, usualmente, si ricava dalla EI stessa usando un procedimento iterativo).

Se $f\in L_{\text{loc}}^1$ è soluzione della EI, allora $f\in C^0$: infatti, il secondo membro della EI, cioè:
\[
e^x + e^x\ \int_0^x e^{-t} f(t)\ \text{d} t\; ,
\]
è continuo non appena $f$ è localmente sommabile.
Ma se $f\in C^0$ allora $f\in C^1$: invero, il secondo membro è derivabile con derivata:
\[
e^x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t)\ \text{d} t + f(x)\; ,
\]
la quale è continua non appena $f$ è continua.
O, beh, ma se $f\in C^1$ allora $f\in C^2$... E così, ragionando per ricorrenza (bootstrap), si vede che $f\in C^\infty$.

Una volta che hai la sufficiente regolarità per derivare, ti devi arrangiare per ottenere una EDO con condizioni al bordo di qualche tipo.

Derivando la EI membro a membro trovi:
\[
f^\prime (x) = \underbrace{e^x + \int_0^x e^{x-t} f(t)\ \text{d} t}_{=f(x)} + f(x)
\]
ossia:
\[
f^\prime (x) = 2\ f(x)\; ,
\]
alla quale puoi accoppiare la condizione iniziale $f(0)=1$ così da ottenere il PdC:
\[
\left\{ \begin{split} f^\prime (x) &= 2\ f(x) \\ f(0) &= 1 \end{split}\right.
\]
la cui soluzione $f(x) = e^{2x}$ è anche è la soluzione della EI di partenza.

Per verificare, hai:
\[
\begin{split}
e^x + \int_0^x e^{x-t} e^{2t} \text{d} t &= e^x + e^x\ \int_0^x e^{t} \text{d} t \\
&= e^x + e^x\ \big( e^x - 1\big) \\
&= e^{2x}\; ,
\end{split}
\]
come volevi.

Un altro modo di procedere può essere determinare la soluzione attraverso qualche espansione in serie.

Per comodità poniamo:
\[
F(x) := e^x + e^x \int_0^x e^{-t}\ f(t)\ \text{d} t\; .
\]
Allora dalla EI e dalle considerazioni svolte all'inizio discende che $f^{(n)}(x) = F^{(n)} (x)$.
Ma si ha:
\[
\begin{split}
F^\prime (x) &= F(x) + f(x)\\
&= 2 f(x)
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
F^{\prime \prime} (x) &= 2 f^\prime (x)\\
&= 4 f(x)
\end{split}
\]
e per ricorrenza trovi:
\[
F^{(n)} (x) = 2^n f(x)\; ,
\]
cosicché è anche:
\[
f^{(n)} (x) = 2^n f(x)\; ,
\]
In particolare, i coefficienti di Taylor-MacLaurin della soluzione $f$ della EI (i quali si possono calcolare, poiché $f\in C^\infty$) sono dati da:
\[
c_n := \frac{1}{n!}\ f^{(n)}(0) = \frac{1}{n!}\ 2^n\ f(0) = \frac{2^n}{n!}
\]
e dunque la soluzione $f$ è formalmente data come somma della serie di potenze:
\[
\begin{split}
f(x) &= \sum_{n=0}^\infty c_n\ x^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!}\ x^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ (2x)^n\\
&= e^{2x}\; .
\end{split}
\]
La verifica che la funzione trovata sia effettivamente la soluzione della EI è stata fatta sopra.

Altri metodi ti possono essere suggeriti, di volta in volta, dalla particolare EI che ti trovi sotto mano.

[Peano1]

grazie mille! ho risolto anche altre equazioni con questo modo di pensare