Risoluzioni di equazioni di Eulero

[bugger]

Ciao a tutti,
sto studiando le equazioni differenziali e sono arrivato oggi alle equazioni di Eulero, ma non capisco come si risolvono e ho un po' di dubbi.
Ad esempio, se ho un equazione del tipo

$x^2y''-2y=0$

ho visto che per risolverla devo cercare una soluzione del tipo

$y=x^m$

quindi derivo due volte ottenendo

$y'=mx^{m-1}$
$y''=m(m-1)x^{m-2}$

A questo punto le sostituisco nell'eq. di partenza ottenendo

$x^2(m(m-1)x^{m-1})-2(x^m)=0$

Considero l'equazione in $m$

$m^2-m-2=0$

che ha per radici

$m_1=2$
$m_2=-1$

e dunque la soluzione dell'omogenea è

$y=c_1x^2+c_2x^{-1}$

Ma la soluzione di equazioni di Eulero omogenee è sempre così? E se invece ne avessi una non omogenea? Ad esempio, come mi comporto se ho un'equazione del tipo

$x^2y''+2xy'-2y=x^2$

?
Grazie mille a tutti

[bugger]

Grazie mille!!! Tutto estremamente chiaro!

[bugger]

\[ x^2\,y''(x) + 2\,x\,y'(x) - 2\,y(x) = x^2 \]

"TeM":sfruttiamo il metodo di somiglianza

Scusami un altra cosa.
In questa equazione differenziale

$x^2y''+2xy'-y=x(logx-2)$

riesco a trovare l'integrale dell'omogenea associata, che mi viene

$y=c_1x^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}+c_2x^{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}$

ma non riesco a trovare l'integrale particolare dell'eq. differenziale di partenza tramite il metodo della somiglianza
Per caso devo assumere

$y_P(x)=Ax+B$

?
Quali altri metodi ci sono oltre a questo?

Grazie mille

EDIT: Mi hai detto che

"TeM":Se \[ \lambda=\alpha\pm i\beta\]\[ y_o(x) = \left(c_1\,\cos(\beta\,\log x) + c_2\,\sin(\beta\,\log x)\right) x^{\alpha} \; . \]

Ma $\alpha$ e $\beta$ da cosa sono dati? Non sono dati da $\alpha=-\frac{a}{2}$ e $\beta=\frac{\sqrt{-\Delta}}{2}$?

[bugger]

Scusate se torno ancora sull'argomento, ma tutte le volte che penso di aver capito, arriva l'esercizio bastardo
L'equazione è quasi simile a quella del primo post, ma non mi torna la soluzione del libro
\[x^2y''-5xy'+9y=x^3\]
Per quanto riguarda la risoluzione dell'omogenea non ci sono problemi, e mi torna
\[y(x)=(c_1+c_2log(x))x^3\]
Per quella particolare mi incarto.
Visto che è simile a quella del primo post (che aveva $... = x^2$ mentre questa è $...x^3$) ho pensato di provare ad applicare il metodo della somiglianza, e, sempre se ho fatto bene, dovrebbe venire
\[y_P(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D\]
Quindi
\[y_P(x)'=3Ax^2+2Bx+C\]
\[y_P(x)''=6Ax+2B\]
Dunque mi viene
\[x^2(6Ax+2B)-5x(3Ax^2+2Bx+C)+9(Ax^3+Bx^2+Cx+D)=x^3 => Bx^2+4Cx+9D=x^3\]
e quindi mi viene
\[A=B=C=D=0\]
e come soluzione quindi
\[y(x)=(c_1+c_2log(x))x^3\]
che ovviamente non torna

[dissonance]

E per forza. Se non hai sbagliato i conti, la posizione $y_P=Ax^3+Bx^2+Cx+D$ ti ha portato ad un risultato sballato, ossia $x^3=0$. Segno che non esistono soluzioni particolari dell'equazione in quella forma. Hai due strade davanti a te (dopo naturalmente avere controllato i calcoli per escludere errori) :

1. cerchi una soluzione particolare di un'altra forma
2. applichi il metodo della variazione delle costanti e buonanotte ai suonatori.