Risoluzione successione di funzione

[Dark_reddy]

Salve, volevo chiedere aiuto per la risoluzione di un esercizio sulla successione di funzione:

Fn(x)=3nx/(1+2n|x|); x$\epsilon$ [0,+$oo$)


Quando vado a calcolare la funzione limite f(x), per x=0, calcolo f(0),
mentre per x>0, calcolo il $\lim_{n \to \infty}f(x)_n$.
Quando cerco la convergenza uniforme, per un intervallo [0,+$oo$), quale f(x) devo usare?quella trovata per x=0, o per x>0? se l'intervallo per esempio fosse [0,9]?
grazie mille

[gugo82]

Innanzitutto:

$f_n(x):=(3nx)/(1+2n|x|) \quad$ per $x \in [0,+oo[$.

Poi, non è che trovi un $f(0)$ con un metodo diverso dagli altri casi: infatti, quando fissi $x>0$, calcoli $lim_n f_n(x)$; quando fissi $x=0$, la successione di termine generale $f_n(0)$ è identicamente nulla, quindi $lim_n f_n(0)=lim_n 0=0$.

Veniamo avanti. Evidentemente puoi anche "buttare" quel valore assoluto al denominatore (infatti $x$ è non negativa); la funzione limite è discontinua, giacché risulta:

$f(x):=lim_n f_n(x)=\{(0, " se " x=0),(3/2, " se " x>0):}$

Visto che le tue funzioni sono continue in $[0,+oo[$, se la convergenza di $(f_n)$ verso $f$ fosse uniforme in $[0,+oo[$ la $f$ dovrebbe risultare ivi continua; ma ciò è assurdo, poichè la $f$ non è continua in $0$. Perciò la convergenza non è uniforme.
Il ragionamento si adatta pari pari al caso di un intervallo del tipo $[0,a]$ con $a>0$.

Prova a vedere se la convergenza è uniforme in intervalli del tipo $[a,b]$ oppure $[a,+oo[$ (con $0

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