Risoluzione sistemi di congruenze con parametro
Come devo procedere per risolvere i sistemi di congruenze (non lineari) dove è presente anche un parametro?
Ad esempio:
$7x^3-8a(x^(2)) \equiv 0 \mod{3}$
$-8a(x^(2))+9x+3a \equiv 0 \mod{7}$
Sono messe a sistema (non so come si fa il sistema).
Come devo discutere il parametro a?
Ad esempio:
$7x^3-8a(x^(2)) \equiv 0 \mod{3}$
$-8a(x^(2))+9x+3a \equiv 0 \mod{7}$
Sono messe a sistema (non so come si fa il sistema).
Come devo discutere il parametro a?
Risposte
interesserebbe moltissimo anche a me.. In particolare mi piacerebbe sapre in che modo impostare le singole congruenze anche senza il parametro $a$.. ma che sia tutto non lineare.. con esponenti come quelli dell'esempio andrebbe bene.. Come si fà?
"John_Nash":
interesserebbe moltissimo anche a me.. In particolare mi piacerebbe sapre in che modo impostare le singole congruenze anche senza il parametro $a$.. ma che sia tutto non lineare.. con esponenti come quelli dell'esempio andrebbe bene.. Come si fà?
Generalmente si cerca di abbassare il grado della $x$ con il piccolo teorema di Fermat.
"klarence":
Come devo procedere per risolvere i sistemi di congruenze (non lineari) dove è presente anche un parametro?
Ad esempio:
$7x^3-8a(x^(2)) \equiv 0 \mod{3}$
$-8a(x^(2))+9x+3a \equiv 0 \mod{7}$
Sono messe a sistema (non so come si fa il sistema).
Come devo discutere il parametro a?
Naturalmente questo è un caso relativamente fortunato perché $F_3$ e $F_7$ sono campi.
Puoi osservare che $x^3 \equiv x$ mod 3 per ogni x, e preso visione della soluzione $x \equiv 0$ mod 3 della prima, essa diventa
$7x-8a \equiv 0$ mod 3, ovvero $x \equiv 2a$ mod 3. Quindi $x=3y+2a$ per qualche $y$ intero. Sostituendo nella seconda risulta:
$-a(3y+2a)^2+2(3y+2a)+3a \equiv 0$ mod 7.
Ovvero:
$-a(2y^2+4a^2-2ay)+6y \equiv 0$ mod 7.
In altre parole:
$2ay^2+(1-2a^2)y+4a^3 \equiv 0$ mod 7.
Questa equazione (polinomiale di secondo grado quando a non si annulla) ha soluzioni se e solo se a=y=0 mod 7 oppure il suo discriminante è un quadrato nel campo $F_7$. Mettiamoci nel caso $a \ne 0$ mod 7. Il discriminante è $Delta = 1+3a^2$. Ora, tramite una facile verifica osservi che $Delta$ è un quadrato se e solo se $a$ è in una delle seguenti classi mod 7: 1,3,4,6. Se ti scrivi la solita formula per risolvere una equazione di secondo grado trovi quanto segue.
Se a è 0, y è 0 (già visto).
Se a è 1, y è 5 oppure 6.
Se a è 3, y è 2.
Se a è 4, y è 5.
Se a è 6, y è 1 oppure 2.
(IL TUTTO MOD 7)
Tradotto:
Se a=7k, y=7h. Quindi troviamo le soluzioni del tipo x=7(3h+2k).
Se a=7k+1, y=7h+5 (nel qual caso x=3(7h+5)+2(7k+1)) oppure y=7h+6 (nel qual caso x=3(7h+6)+2(7k+1)).
Se a=7k+3, y=7h+2 (nel qual caso x=3(7h+2)+2(7k+3)).
Se a=7k+4, y=7h+5 (nel qual caso x=3(7h+5)+2(7k+4)).
Se a=7k+6, y=7h+1 (nel qual caso x=3(7h+1)+2(7k+6)) oppure y=7h+2 (nel qual caso x=3(7h+2)+2(7k+6)).
Poi resta da discutere il caso x=3y, in modo analogo.
Tutto ciò è estremamente tedioso, spero che qualcuno ti scriva una soluzione più bella
Ciao.
"Martino":
[quote="klarence"]Come devo procedere per risolvere i sistemi di congruenze (non lineari) dove è presente anche un parametro?
Ad esempio:
$7x^3-8a(x^(2)) \equiv 0 \mod{3}$
$-8a(x^(2))+9x+3a \equiv 0 \mod{7}$
Sono messe a sistema (non so come si fa il sistema).
Come devo discutere il parametro a?
Naturalmente questo è un caso relativamente fortunato perché $F_3$ e $F_7$ sono campi.
Puoi osservare che $x^3 \equiv x$ mod 3 per ogni x, e preso visione della soluzione $x \equiv 0$ mod 3 della prima, essa diventa
$7x-8a \equiv 0$ mod 3, ovvero $x \equiv 2a$ mod 3. Quindi $x=3y+2a$ per qualche $y$ intero. Sostituendo nella seconda risulta:
$-a(3y+2a)^2+2(3y+2a)+3a \equiv 0$ mod 7.
Ovvero:
$-a(2y^2+4a^2-2ay)+6y \equiv 0$ mod 7.
In altre parole:
$2ay^2+(1-2a^2)y+4a^3 \equiv 0$ mod 7.
Questa equazione (polinomiale di secondo grado quando a non si annulla) ha soluzioni se e solo se a=y=0 mod 7 oppure il suo discriminante è un quadrato nel campo $F_7$. Mettiamoci nel caso $a \ne 0$ mod 7. Il discriminante è $Delta = 1+3a^2$. Ora, tramite una facile verifica osservi che $Delta$ è un quadrato se e solo se $a$ è in una delle seguenti classi mod 7: 1,3,4,6. Se ti scrivi la solita formula per risolvere una equazione di secondo grado trovi quanto segue.
Se a è 0, y è 0 (già visto).
Se a è 1, y è 5 oppure 6.
Se a è 3, y è 2.
Se a è 4, y è 5.
Se a è 6, y è 1 oppure 2.
(IL TUTTO MOD 7)
Tradotto:
Se a=7k, y=7h. Quindi troviamo le soluzioni del tipo x=7(3h+2k).
Se a=7k+1, y=7h+5 (nel qual caso x=3(7h+5)+2(7k+1)) oppure y=7h+6 (nel qual caso x=3(7h+6)+2(7k+1)).
Se a=7k+3, y=7h+2 (nel qual caso x=3(7h+2)+2(7k+3)).
Se a=7k+4, y=7h+5 (nel qual caso x=3(7h+5)+2(7k+4)).
Se a=7k+6, y=7h+1 (nel qual caso x=3(7h+1)+2(7k+6)) oppure y=7h+2 (nel qual caso x=3(7h+2)+2(7k+6)).
Poi resta da discutere il caso x=3y, in modo analogo.
Tutto ciò è estremamente tedioso, spero che qualcuno ti scriva una soluzione più bella
Ciao.[/quote]
Non ho capito perchè la congruenza ha soluzione se il delta della equazione è un quadrato del campo....
Perché la formula generale su un generico campo k di caratteristica diversa da 2,
$x_{1,2}=(-b pm \sqrt{Delta})/(2a)$
produce qualcosa di sensato solo nel caso in cui $\sqrt{Delta} in k$. E in questo caso, chiamate $delta$ e $gamma$ le due radici di $Delta$ (quindi tali che $delta=-gamma$), le due soluzioni vengono ad essere proprio $(2a)^{-1}(-b+delta)$ e $(2a)^{-1}(-b+gamma)$.
(questo non è un mistero: il discorso vale anche per il ben conosciuto caso $k=RR$, perché in $RR$ essere un quadrato significa essere maggiore o uguale a zero! E sappiamo che una equazione di secondo grado ha soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero).
$x_{1,2}=(-b pm \sqrt{Delta})/(2a)$
produce qualcosa di sensato solo nel caso in cui $\sqrt{Delta} in k$. E in questo caso, chiamate $delta$ e $gamma$ le due radici di $Delta$ (quindi tali che $delta=-gamma$), le due soluzioni vengono ad essere proprio $(2a)^{-1}(-b+delta)$ e $(2a)^{-1}(-b+gamma)$.
(questo non è un mistero: il discorso vale anche per il ben conosciuto caso $k=RR$, perché in $RR$ essere un quadrato significa essere maggiore o uguale a zero! E sappiamo che una equazione di secondo grado ha soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero).
ok ho capito cosa mi vuoi dire. Ma chi mi dice che se $Delta in k$ allora anche le soluzioni della intera equazione appartengono a $k$?
"klarence":
ok ho capito cosa mi vuoi dire. Ma chi mi dice che se $Delta in k$ allora anche le soluzioni della intera equazione appartengono a $k$?
Scusa mi sono spiegato male, ho editato. Lo ridico meglio:
Se k ha caratteristica diversa da 2 e $Delta$ è un quadrato in k (ovvero se esiste $y in k$ tale che $y^2=Delta$) allora le soluzioni stanno in k. Questo perché la formula risolutiva coinvolge una radice quadrata più operazioni di campo. Cioè, se esistono le due radici quadrate $\gamma$, $-\gamma$ di $Delta$ allora le soluzioni dell'equazione $ax^2+bx+c=0$ con $a \ne 0$ (di cui $Delta$ è il discriminante) sono
$(2a)^{-1}(-b+gamma)$
$(2a)^{-1}(-b-gamma)$
e questi due sono elementi di k per le seguenti ragioni:
- 2 è invertibile in k perché k non ha caratteristica 2, quindi $2^{-1} \in k$.
- a è diverso da zero in k (perché l'equazione di partenza ha grado 2), quindi è invertibile in k, quindi $a^{-1} in k$.
- una volta appurata l'esistenza di $(2a)^{-1}=2^{-1} \cdot a^{-1}$, possiamo moltiplicarlo per gli elementi di k $-b+gamma$ o $-b-gamma$ e restiamo dentro k.
La seconda è più semplice se la si scrive così $-8ax^2+9x+3a\equiv 2ax^2+3x+a \equiv 0 (mod 7)$, e ora il discriminante diventa $\sqrt(9-8a^2)$, più facile da trattare. O un modo semplice di affrontarla è ridurla ad una del tipo $x^2\equiv q (mod 7)$, da dove si risolve coi residui quadratici.
Comunque, le soluzioni sono tante, quindi non c'è una soluzione molto più elegante.
Comunque, le soluzioni sono tante, quindi non c'è una soluzione molto più elegante.
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