Risoluzione sistema punti critici di una funzione
Salve ragazzi.
Nel classico esercizio della ricerca dei punti critici di una funzione a due variabili, una volta considerato il dominio e ricavato il gradiente, bisogna mettere a sistema le due derivate rispetto x ed y della funzione e vedere quando si annullano contemporaneamente.
Fino a qui tutto ok.
Il discorso è che spesso la risoluzione di questi sistemi di 2 equazioni in 2 incognite mi risulta difficile perchè non intravedo una via immediata per ricavarmi i valori di x e y.
Vi faccio un esempio:
$ grad f(x, y) ={fx = 2(x-1)(y-2) = 0, fy= (x-1)^2 - 2y = 0 :} $
Come dovrei procedere in modo da trovarmi i valori di x ed y e quindi i rispettivi punti critici?
Le tecniche che conosco sono la somma (o differenza) membro a membro e la risoluzione per sostituzione, ma nessuna delle due mi sembra praticabile.
Nel classico esercizio della ricerca dei punti critici di una funzione a due variabili, una volta considerato il dominio e ricavato il gradiente, bisogna mettere a sistema le due derivate rispetto x ed y della funzione e vedere quando si annullano contemporaneamente.
Fino a qui tutto ok.
Il discorso è che spesso la risoluzione di questi sistemi di 2 equazioni in 2 incognite mi risulta difficile perchè non intravedo una via immediata per ricavarmi i valori di x e y.
Vi faccio un esempio:
$ grad f(x, y) ={fx = 2(x-1)(y-2) = 0, fy= (x-1)^2 - 2y = 0 :} $
Come dovrei procedere in modo da trovarmi i valori di x ed y e quindi i rispettivi punti critici?
Le tecniche che conosco sono la somma (o differenza) membro a membro e la risoluzione per sostituzione, ma nessuna delle due mi sembra praticabile.
Risposte
Dalla prima equazione ricavi una soluzione $x=1 $ che inserita nella seconda equazione ti dà $y=0 $.
Quindi mun primo punto critico è $(1,0)$.
Sempre dalla prima equazione ricavi $y=2 $ che sostituita nella seconda... prosegui tu
edit corretto errore nel calcolo di $y $.
Quindi mun primo punto critico è $(1,0)$.
Sempre dalla prima equazione ricavi $y=2 $ che sostituita nella seconda... prosegui tu
edit corretto errore nel calcolo di $y $.
Ciao,
il gradiente è un vettore, non un sistema di equazioni. Dovresti riscriverlo correttamente senza le equazioni dentro le parentesi.
Dalla prima equazione, supponendo $x!=1$, dividi per $x-1$ e ricavi $y=2$.
Sostituendo $y=2$ nella seconda trovi un'equazione di secondo grado nell'incognita $x$ le cui soluzioni sono $x=3$ e $x=-1$.
Il punto $(1,2)$, però, non mi pare che sia un punto dove il gradiente si annulli.
il gradiente è un vettore, non un sistema di equazioni. Dovresti riscriverlo correttamente senza le equazioni dentro le parentesi.
Dalla prima equazione, supponendo $x!=1$, dividi per $x-1$ e ricavi $y=2$.
Sostituendo $y=2$ nella seconda trovi un'equazione di secondo grado nell'incognita $x$ le cui soluzioni sono $x=3$ e $x=-1$.
Il punto $(1,2)$, però, non mi pare che sia un punto dove il gradiente si annulli.
Infatti non lo è 
Dalla soluzione dell'esercizio escono tutti e 3 i punti da voi indicati. A (1, 0 ), B (-1,2), C (3, 2) e dall'Hessiano risulta che solo A è un punto di massimo relativo.
Adesso mi chiedo, se seguo il procedimento di Camillo, mi trovo il primo punto, invece se seguo il procedimento di Black magic mi trovo gli altri due.
Non trovo un modo univoco per risolvere l'esercizio portandomi alla conclusione esatta, sono confuso.
Adesso mi chiedo, se seguo il procedimento di Camillo, mi trovo il primo punto, invece se seguo il procedimento di Black magic mi trovo gli altri due.
Non trovo un modo univoco per risolvere l'esercizio portandomi alla conclusione esatta, sono confuso.
"scientifico":
Non trovo un modo univoco per risolvere l'esercizio portandomi alla conclusione esatta, sono confuso.
Proponi un esercizio, scrivi la funzione da cui partiamo, e mostra il tuo svolgimento poi ne parliamo.
Cercare un metodo sempre uguale, standard per così dire, non è sempre la strada migliore.
Spesso è necessaria un po' di inventiva e quella si acquisisce con la pratica, affrontando cioè tanti casi particolari, isn't it?
Va bene, ad esempio vi propongo questo sistema:
$ { ( y^2 + 2xy -6x - 9y + 18 = 0 ),( x^2 + 2xy - 6y - 9x + 18 = 0 ):} $
non dovrebbe essere un sistema simmetrico?
Ho provato a risolverlo ponendo y = x, perchè ricordo che quando è possibile sostituire nelle due equazioni le x con le y senza cambiare nulla, si potesse fare in questo modo.
Solo che come soluzioni mi trovo x = 2, x = 3, e quindi y = 2, y = 3 e quindi i punti critici (2,2), (2,3), (3,2), (3,3) di cui solo il primo di massimo e il resto di sella.
invece dovrebbe trovarsi (2,2) (0,3) (3,0) (3,3).
Gli ultimi due me li ritrovo, ma x = 0, y = 0 non so da dove siano usciti!
$ { ( y^2 + 2xy -6x - 9y + 18 = 0 ),( x^2 + 2xy - 6y - 9x + 18 = 0 ):} $
non dovrebbe essere un sistema simmetrico?
Ho provato a risolverlo ponendo y = x, perchè ricordo che quando è possibile sostituire nelle due equazioni le x con le y senza cambiare nulla, si potesse fare in questo modo.
Solo che come soluzioni mi trovo x = 2, x = 3, e quindi y = 2, y = 3 e quindi i punti critici (2,2), (2,3), (3,2), (3,3) di cui solo il primo di massimo e il resto di sella.
invece dovrebbe trovarsi (2,2) (0,3) (3,0) (3,3).
Gli ultimi due me li ritrovo, ma x = 0, y = 0 non so da dove siano usciti!
Da quale funzione siamo partiti?
l'obbiettivo è trovare i valori al variare di x o di y; puoi quindi ricercare i valori tramite sostituzione in questo caso...dalla seconda equazione hai 2y=(x-1)^2...sostituisci alla prima e ricava i valori della x al cui variare dipenderà il valore di y..
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