Risoluzione sistema massimi e minimi vincolati
Salve, non riesco a trovarmi con il risultato di questo esercizio:
Determinare i valori di massimo e minimo assoluti della funzione
$f(x,y)=-12xy-sqrt((1-9x^2)(9-16y^2))$
nell'insieme ${(x,y)inR^2 : |x|<=1/3, |y|<=3/4}$
Non riesco a trovare una soluzione al sistema per quanto riguarda la ricerca degli eventuali max/min interni all'insieme
$f_x=-12 y + (9 x (9 - 16 y^2))/sqrt((1 -9 x^2) (9 - 16 y^2))$
$f_y=-12 x + (16 y(1 - 9 x^2) )/sqrt((1 - 9 x^2) (9 -16 y^2))$
Da questo sistema il risultato è: i punti critici sono sulla retta $9x-4y=0$
Come arrivo a questa soluzione?
Determinare i valori di massimo e minimo assoluti della funzione
$f(x,y)=-12xy-sqrt((1-9x^2)(9-16y^2))$
nell'insieme ${(x,y)inR^2 : |x|<=1/3, |y|<=3/4}$
Non riesco a trovare una soluzione al sistema per quanto riguarda la ricerca degli eventuali max/min interni all'insieme
$f_x=-12 y + (9 x (9 - 16 y^2))/sqrt((1 -9 x^2) (9 - 16 y^2))$
$f_y=-12 x + (16 y(1 - 9 x^2) )/sqrt((1 - 9 x^2) (9 -16 y^2))$
Da questo sistema il risultato è: i punti critici sono sulla retta $9x-4y=0$
Come arrivo a questa soluzione?
Risposte
Partendo dalle equazioni che hai scritto, ad esempio la prima, sviluppiamola e vediamo cosa otteniamo
$$9x^2(9-16y^2)=16y^2(1-9x^2)$$
Continuando ...
$$9x^2(3-4y)(3+4y)=16y^2(1-3x)(1+3x)$$
Quindi le soluzioni sono tutti gli zeri di questa equazione (l'altra, se sviluppata, porta a risultati simili). Quindi abbiamo $(0,0)$, $(1/3,3/4)$, $(1/3, -3/4)$, $(-1/3, 3/4)$,$(-1/3,-3/4)$. Notiamo pero' che negli ultimi quattro punti trovati le derivate parziali non sono definite (infatti in quei punti si annulla il denominatore).
Tuttavia il limite calcolato in quei punti lungo la retta di equazione $y=-9/4x$ per entrambe le derivate parziali e' nullo. Un indizio che ci suggerisce che anche il gradiente in quei punti potrebbe annullarsi. Tuttavia per esserne certi, dovremmo calcolare il limite lungo una qualsiasi curva in quei punti e controllare che questo sia indipendente dalla curva presa in esame.
Ad ogni modo, l'insieme dato e' un insieme chiuso e limitato e $f$ e' ivi continua. Per il Teorema di Weierstrass allora esiste massimo e minimo della funzione in questo insieme e per la comprensione della natura dei punti critici trovati bisogna tenere conto del segno dell'hessiano.
$$9x^2(9-16y^2)=16y^2(1-9x^2)$$
Continuando ...
$$9x^2(3-4y)(3+4y)=16y^2(1-3x)(1+3x)$$
Quindi le soluzioni sono tutti gli zeri di questa equazione (l'altra, se sviluppata, porta a risultati simili). Quindi abbiamo $(0,0)$, $(1/3,3/4)$, $(1/3, -3/4)$, $(-1/3, 3/4)$,$(-1/3,-3/4)$. Notiamo pero' che negli ultimi quattro punti trovati le derivate parziali non sono definite (infatti in quei punti si annulla il denominatore).
Tuttavia il limite calcolato in quei punti lungo la retta di equazione $y=-9/4x$ per entrambe le derivate parziali e' nullo. Un indizio che ci suggerisce che anche il gradiente in quei punti potrebbe annullarsi. Tuttavia per esserne certi, dovremmo calcolare il limite lungo una qualsiasi curva in quei punti e controllare che questo sia indipendente dalla curva presa in esame.
Ad ogni modo, l'insieme dato e' un insieme chiuso e limitato e $f$ e' ivi continua. Per il Teorema di Weierstrass allora esiste massimo e minimo della funzione in questo insieme e per la comprensione della natura dei punti critici trovati bisogna tenere conto del segno dell'hessiano.
Grazie mille
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