Risoluzione Serie Numeriche

[andrea89ita]

Salve,sono nuovo del forum,spero di conoscervi un po tutti al piu presto!:D

intanto vi chiedo un'aiuto riguardo allo studio del carattere delle seguenti serie,che risultano un po ostiche per me :


1)

$\sum_{n=1}^N ((n log^2(1+1/n))/(3 sin(1/n)))$


2)

$\sum_{n=1}^N ((sin(2n+1)(1-cos(1/n)))/(log(1+1/sqrtn))))$



3)

$\sum_{n=1}^N ((n^2log(1+e^(-2n)))/(1-cos3^-n))$

[Darèios89]

Scusa...per la prima....quanto fa il limite a più infinito di:

[tex]log^2(1+\frac{1}{n})^{n}[/tex]?

[andrea89ita]

Il risultato dovrebbe essere 0

[ViciousGoblin]

"Darèios89":Scusa...per la prima....quanto fa il limite a più infinito di:

[tex]log^2(1+\frac{1}{n})^{n}[/tex]?

Però $n\ln^2(1+1/n)\ne\ln^2((1+1/n)^n)$ (se è questo che volevi intendere)

[andrea89ita]

in generale io non so come affrontare le serie quando in esse vi sono sin,cos e log

[ViciousGoblin]

"andrea89ita":in generale io non so come affrontare le serie quando in esse vi sono sin,cos e log

devi usare gli sviluppi di Taylor

[andrea89ita]

quindi in questi casi è Lecito utilizzare gli Sviluppi di taylor?

[ViciousGoblin]

"andrea89ita":quindi in questi casi è Lecito utilizzare gli Sviluppi di taylor?

E' una domanda un po' generica. E? lecito usare ciò che vuoi purché sia corretto farlo e sia utile allo scopo
La matematica ti dà degli strumenti che devi imparare a usare, scegliendo volta per volta quelli più adatti al problema che ti trovi
ad affrontare (è pericoloso cercare delle "regole universali"). Naturalmente ci vuole tempo ed esercizio per "farci l'occhio".

In quasi tutte le serie che hai proposto sopra gli sviluppi di Taylor sono utili; in particolare hai:

$\ln(1+1/n)=1/n+o(1/n)$ e analogamente $\ln(1+1/\sqrt{n})=1/\sqrt{n}+o(1/\sqrt{n})$
$\sin(1/n)=1/n+o(1/n)$
$\cos(1/n)=1-1/2 1/n^2+o(1/n^2)$

che di dovrebbero permettere di ridurti a serie più "standard"
(spero che ti sia familiare la notazione con gli o piccoli - altrimenti ne riparliamo)

[andrea89ita]

potresti farmi una delucidazione a riguardo?


Grazie!

[ViciousGoblin]

"andrea89ita":potresti farmi una delucidazione a riguardo?


Grazie!

Ehem ... riguardo a cosa? (alle formule che ti ho scritto? agli o piccoli? o a come si usano nello studio della converegnza delle sere?)

Provo a scrivere qualcosa mostrandoti come io risolverei la serie 1), cioè $\sum_{n=1}^\infty a_n$ dove $a_n=\frac{n\ln^2(1+1/n)}{3\sin(1/n)}$.

Prima di tutto nota che $a_n\geq0$ (potresti avere dei dubbi riguardo al seno, ma dato che $0<1/n<\pi$ è chiaro che $\sin(1/n)>0$).

Dagli sviluppi di Taylor in zero sai che:
$\sin(x)=x+o(x)$
$\ln(1+x)=x+o(x)$
dove gli $o(x)$ indicano delle quantità (diverse volta per volta) tali che $\lim_{x\to0}\frac{o(x)}{x}=0$. Dato che $\lim_{n\to\infty}1/n=0$ puoi scrivere:
$\sin(1/n)=x+o(1/n)$
$\ln(1+1/n)=x+o(1/n)$
da cui, usando il comodo "calcolo con gli o piccoli", ricavi:
$a_n=\frac{n(1/n+o(1/n))^2}{3(1/n+o(1/n))}=\frac{n 1/n^2(1+o(1))^2}{3/n(1+o(1))}=1/3 (1+o(1))$

($o(1)$ vuol dire semplicemente qualcosa che tende a zero) e quindi $\lim_{n\to\infty}a_n=1/3\ne0$ per cui la serie diverge. In questo caso per la verità
(è più facile dato che non è verificata la condizione necessaria) avresti potuto vedere anche in altri modi che il limite di $a_n$ non è zero.
SEi SICURO che la serie fosse quella? Se invece tu avessi avuto $a_n=n\ln^2(1+1/n))\sin(1/n)$ (prodotto invece che quoziente) allora sarebbe stato

$a_n=n(1/n+o(1/n))^2(1/n+o(1/n))=n 1/n^2 (1+o(1)) 1/n (1+o(1))=1/n^2 (1+o(1))$

che ti dice che la successione $a_n$ è "asintotica" alla successione $1/n^2$. Dato che $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ converge, anche $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.

La serie 2) si può fare con questa tecnica (passando prima ai valori assoluti e togliendo di mezzo il termine oscillante $\sin(2n+1)$) - anche per la 3) conviene sviluppare i coseni e logaritmi per passare a una serie a cui si dovrebbe potere applicare il criterio della radice.

[andrea89ita]

"ViciousGoblin":[quote="andrea89ita"]potresti farmi una delucidazione a riguardo?


Grazie!

Ehem ... riguardo a cosa? (alle formule che ti ho scritto? agli o piccoli? o a come si usano nello studio della converegnza delle sere?)

Provo a scrivere qualcosa mostrandoti come io risolverei la serie 1), cioè $\sum_{n=1}^\infty a_n$ dove $a_n=\frac{n\ln^2(1+1/n)}{3\sin(1/n)}$.

Prima di tutto nota che $a_n\geq0$ (potresti avere dei dubbi riguardo al seno, ma dato che $0<1/n<\pi$ è chiaro che $\sin(1/n)>0$).

Dagli sviluppi di Taylor in zero sai che:
$\sin(x)=x+o(x)$
$\ln(1+x)=x+o(x)$
dove gli $o(x)$ indicano delle quantità (diverse volta per volta) tali che $\lim_{x\to0}\frac{o(x)}{x}=0$. Dato che $\lim_{n\to\infty}1/n=0$ puoi scrivere:
$\sin(1/n)=x+o(1/n)$
$\ln(1+1/n)=x+o(1/n)$
da cui, usando il comodo "calcolo con gli o piccoli", ricavi:
$a_n=\frac{n(1/n+o(1/n))^2}{3(1/n+o(1/n))}=\frac{n 1/n^2(1+o(1))^2}{3/n(1+o(1))}=1/3 (1+o(1))$

($o(1)$ vuol dire semplicemente qualcosa che tende a zero) e quindi $\lim_{n\to\infty}a_n=1/3\ne0$ per cui la serie diverge. In questo caso per la verità
(è più facile dato che non è verificata la condizione necessaria) avresti potuto vedere anche in altri modi che il limite di $a_n$ non è zero.
SEi SICURO che la serie fosse quella? Se invece tu avessi avuto $a_n=n\ln^2(1+1/n))\sin(1/n)$ (prodotto invece che quoziente) allora sarebbe stato

$a_n=n(1/n+o(1/n))^2(1/n+o(1/n))=n 1/n^2 (1+o(1)) 1/n (1+o(1))=1/n^2 (1+o(1))$

che ti dice che la successione $a_n$ è "asintotica" alla successione $1/n^2$. Dato che $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ converge, anche $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.

La serie 2) si può fare con questa tecnica (passando prima ai valori assoluti e togliendo di mezzo il termine oscillante $\sin(2n+1)$) - anche per la 3) conviene sviluppare i coseni e logaritmi per passare a una serie a cui si dovrebbe potere applicare il criterio della radice.[/quote]


Grazie per le delucidazioni,si le serie sono corrette:

vorrei chiederti una cosa ma per gli sviluppi di taylor:

$ sin 1/n=1/n - 1/6n^2 + o(1/n^2) $

stessa cosa dicasi per ln(1+1/n)

??