Risoluzione serie numerica
Salve a tutti qualcuno può aiutarmi con queste serie?
\[
\sum_{n=1}^{\infty} e^{1/n^4} - 1 - 1/n^4
\]
\[
\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^4 - \arctan (1/n^4)
\]
-- di questa ho provato con criterio di rapporto e radice ma alla fine entrambi mi danno 1!
Grazie a tutti
\[
\sum_{n=1}^{\infty} e^{1/n^4} - 1 - 1/n^4
\]
\[
\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^4 - \arctan (1/n^4)
\]
-- di questa ho provato con criterio di rapporto e radice ma alla fine entrambi mi danno 1!
Grazie a tutti
Risposte
Idee tue?
Hai mai sentito parlare di confronto asintotico?
Hai mai sentito parlare di confronto asintotico?
Ok, ho scomposto la prima serie in una somma delle 3, e mi risultano divergente convergente convergente, in questo caso visto che non sono tutte e tre convergenti come considero la serie di partenza?
Alla prima serie ho usato il confronto asintotico con 1/n.
Alla prima serie ho usato il confronto asintotico con 1/n.
"Stak":
Ok, ho scomposto la prima serie in una somma delle 3, e mi risultano divergente convergente convergente, in questo caso visto che non sono tutte e tre convergenti come considero la serie di partenza?
Infatti non puoi spezzettare così una serie...
Prova ad usare la formula di Taylor al secondo ordine per l'esponenziale.
Per quanto riguarda l'altra, usa la formula di Taylor al secondo ordine per l'arcotangente.
Ciao ad entrambi!
La butto lì,per confronto tra scuole di pensiero:
và bene linearizzare attraverso Taylor,quando indispensabile,
e và anche bene determinare gli ordini d'infinitesimo o infinito per stanare il "nemico" quando è troppo agguerito
(per la serie "alla spada rispondiamo con la spada,e non con il fioretto",
anche se và considerata sempre l'eventualità che a volte basta un colpo solo ben piazzato e si vince la stoccata..),
ma a naso l'obiettivo formativo dell'esercizio è un pò più "basso".
Magari all'insegnante che l'ha scelto per ora premeva solo di far capire che spesso,
per determinare il carattere delle serie a termini non negativi,
basta confrontare asintoticamente con una serie campione scelta ad hoc e s'arriva subito alle conclusioni richieste:
ad ex,nel caso specifico,$EElim_(n->oo)(a_n)/(1/(n^4))=lim_(n->oo)((e^(1/(n^4))-1)/(1/(n^4))-1)=1-1=0<+oorArrcdots$
e $EElim_(n->oo)(b_n)/(1/(n^4))=lim_(n->oo)[(text{arctg}1/(n^4))/(1/(n^4))-1]$=
$=lim_(t->0)(t/(text{tgt})-1)=1-1$
(ci si ricongiunge al caso delle funz. reali di una var.reale,e poi si pone $t=text{arctg}1/(n^4)$..)$=0<+oorArrcdots$
(ricorda solo Gugo cosa accade se il confronto asintotico avviene con una serie convergente ed il limite che da esso scaturisce è convergente?)!
In fondo,dai,Taylor e gli ordini d'infinitesimo,
con tutte le loro applicazioni teoriche e pratiche nei campi più svariati dell'Analisi,
nascono dal buon vecchio operatore di limite,
e forse per padroneggiarli quando saranno davvero utili occorre esser padroni di quest'ultimo:
saluti dal web.
La butto lì,per confronto tra scuole di pensiero:
và bene linearizzare attraverso Taylor,quando indispensabile,
e và anche bene determinare gli ordini d'infinitesimo o infinito per stanare il "nemico" quando è troppo agguerito
(per la serie "alla spada rispondiamo con la spada,e non con il fioretto",
anche se và considerata sempre l'eventualità che a volte basta un colpo solo ben piazzato e si vince la stoccata..),
ma a naso l'obiettivo formativo dell'esercizio è un pò più "basso".
Magari all'insegnante che l'ha scelto per ora premeva solo di far capire che spesso,
per determinare il carattere delle serie a termini non negativi,
basta confrontare asintoticamente con una serie campione scelta ad hoc e s'arriva subito alle conclusioni richieste:
ad ex,nel caso specifico,$EElim_(n->oo)(a_n)/(1/(n^4))=lim_(n->oo)((e^(1/(n^4))-1)/(1/(n^4))-1)=1-1=0<+oorArrcdots$
e $EElim_(n->oo)(b_n)/(1/(n^4))=lim_(n->oo)[(text{arctg}1/(n^4))/(1/(n^4))-1]$=
$=lim_(t->0)(t/(text{tgt})-1)=1-1$
(ci si ricongiunge al caso delle funz. reali di una var.reale,e poi si pone $t=text{arctg}1/(n^4)$..)$=0<+oorArrcdots$
(ricorda solo Gugo cosa accade se il confronto asintotico avviene con una serie convergente ed il limite che da esso scaturisce è convergente?)!
In fondo,dai,Taylor e gli ordini d'infinitesimo,
con tutte le loro applicazioni teoriche e pratiche nei campi più svariati dell'Analisi,
nascono dal buon vecchio operatore di limite,
e forse per padroneggiarli quando saranno davvero utili occorre esser padroni di quest'ultimo:
saluti dal web.
@theras: E pure hai ragione... Però ormai queste cose le faccio talmente "a occhio" con Taylor che il criterio del rapporto lo lascio sempre da parte. 
"gugo82":
@theras: E pure hai ragione... Però ormai queste cose le faccio talmente "a occhio" con Taylor che il criterio del rapporto lo lascio sempre da parte.
E che vuoi farci?
E' un altro lato della medaglia dell'essere un Matematico di talento!
Se terrai in conto pure queste piccoli aspetti della didattica nel proseguio della tua carriera
(spazio in testa direi proprio che non te ne manca,per farlo..),
o per meglio dire della sua parte che dedicherai all'attività in aula,
dovresti diventare un professore universitario coi fiocchi ed i baffi
(e non penso certo,come esempio in merito,a soggetti tipo il nostro attuale presidente del consiglio con p e c minuscole..):
classe di lavoratori intellettuali indispensabile,per la ripresa di questo Belpaese
(dato che continuo a non ritenere un caso come questa fase di discesa dell'intero sistema Italia sia iniziata quando gli oligarchi hanno dato le ultime spallate a Scuola ed all'ordinamento Universitario vigente fino al '99..),
e dunque tifo per te e la tua costante crescita nella ricerca e nell'attività d'insegnamento.
Saluti dal web.
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