Risoluzione serie numerica

[mazzy89-votailprof]

Non sono molto sicuro se il mio ragionamento nella risoluzione della seguente serie numerica sia esatto:

$sum_{n=1}^(+oo) (1+e^-1+e^-2+ ... + e^-n)x^(2n)$

Ho risolto la seguente serie applicando il criterio del rapporto.
Ecco i passaggi:

$lim_(n to +oo) x^(2(n+1))/e^(n+1)*e^n/x^(2n)=x^2/e$

La serie convergerà per valori di $x$ compresi tra $-sqrte e divergerà per $x<-sqrte$ e $x>sqrte$

[salvozungri]

mmm, non è una serie numerica, ma una serie di potenze
Una serie di potenze si presenta nella forma:

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n t^n$. Ti chiedo ora: riusciresti a scrivere cosa sono $a_n$ e $t$ in questo caso particolare? Fatti sentire

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":mmm, non è una serie numerica, ma una serie di potenze
Una serie di potenze si presenta nella forma:

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n t^n$. Ti chiedo ora: riusciresti a scrivere cosa sono $a_n$ e $t$ in questo caso particolare? Fatti sentire

So che non è una serie numerica ma bensì una serie di potenze. Non posso applicare il criterio del rapporto?
Dunque nel caso specifico $a_n$ sarebbe $e^-n$ e $t$ sarebbe $x^2$

[salvozungri]

Scusami, volevo solo mettere in chiaro che non è una serie numerica . Passiamo a noi:
$t= x^2$ è esatto! Per $a_n$ no.

$a_n= (1+e^(-1)+...+ e^(-n))= \sum_{k=0}^n e^(-k)$
Ti lascio il gusto di trovare la somma della serie geometrica troncata

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Scusami, volevo solo mettere in chiaro che non è una serie numerica . Passiamo a noi:
$t= x^2$ è esatto! Per $a_n$ no.

$a_n= (1+e^(-1)+...+ e^(-n))= \sum_{k=0}^n e^(-k)$
Ti lascio il gusto di trovare la somma della serie geometrica troncata

Dunque la serie geometrica risulta:

convergente per $|1/e|<1 \ \ \ -1/e divergente per $1/e>=1$

[salvozungri]

$a_n = \sum_{k=0}^n e^(-k)=(e^(-n)(e^(1+n)-1))/(e-1)$

Determino il raggio di convergenza, valutando dapprima:

$a_{n}/a_{n+1}= (e(e^(n+1)-1))/(e^(2+n)-1)$

Facendo tendere n a più infinito ottieni infine che:

$R=lim_{n->+infty} a_{n}/a_{n+1}= 1$
Dunque la serie converge se e solo se $|t| x^2x^2<1 => -1 Hai ottenuto l'intervallo in cui converge la serie.

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":$a_n = \sum_{k=0}^n e^(-k)=(e^(-n)(e^(1+n)-1))/(e-1)$

Determino il raggio di convergenza, valutando dapprima:

$a_{n}/a_{n+1}= (e(e^(n+1)-1))/(e^(2+n)-1)$

Facendo tendere n a più infinito ottieni infine che:

$R=lim_{n->+infty} a_{n}/a_{n+1}= 1$
Dunque la serie converge se e solo se $|t| x^2x^2<1 => -1 Hai ottenuto l'intervallo in cui converge la serie.

Il discorso non mi è molto chiaro.Come hai ottenuto:$a_n = \sum_{k=0}^n e^(-k)=(e^(-n)(e^(1+n)-1))/(e-1)$ ?La teoria esposta da te fa parte del programma di analisi 2. Ma la serie è presa da un compito di analisi 1.Non c'è qualche metodo più consono ad analisi 1?

[salvozungri]

Scusami, allora il discorso cambia (ma non di molto):

Consideri $b_{n}= a_{n} x^(2n)$ con $a_{n}= \sum_{k=0}^n e^(-n)=e^(-n)(e^(1+n)-1)/(e-1)$

Utilizzando il criterio del rapporto
$lim_{n->+\infty} b_{n+1}/b_{n}= $
$=lim_{n->+\infty} ((e^(-n-1)(e^(2+n)-1))/(e-1) x^(2n+2))/((e^(-n)(e^(1+n)-1))/(e-1) x^(2n))=x^2$

Per il criterio del rapporto affinchè converga la serie si deve avere che $lim_{n->+\infty} b_{n+1}/b_{n}= x^2<1$
Quindi devi risolvere la disequazione $x^2<1$ ed hai finito

[salvozungri]

"mazzy89":
Il discorso non mi è molto chiaro.Come hai ottenuto:$a_n = \sum_{k=0}^n e^(-k)=(e^(-n)(e^(1+n)-1))/(e-1)$ ?La teoria esposta da te fa parte del programma di analisi 2. Ma la serie è presa da un compito di analisi 1.Non c'è qualche metodo più consono ad analisi 1?

Faccio un discorso generico:

$\sum_{k=0}^n y^k$ viene di solito chiamata serie geometrica troncata, si fa di solito quando si introducono le serie geometriche. E' possibile dimostrare che la somma di
$\sum_{k=0}^n y^k= (y^(n+1)-1)/(y-1)$ questa uguaglianza vale per ogni $y\inRR\setminus {1}$

Nel nostro caso $y= e^(-1)=> \sum_{k=0}^n (e^(-1))^k= ((e^(-1))^(n+1)-1)/((e^(-1))-1)= (e^(-n)(e^(1+n)-1))/(e-1)$

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":[quote="mazzy89"]
Il discorso non mi è molto chiaro.Come hai ottenuto:$a_n = \sum_{k=0}^n e^(-k)=(e^(-n)(e^(1+n)-1))/(e-1)$ ?La teoria esposta da te fa parte del programma di analisi 2. Ma la serie è presa da un compito di analisi 1.Non c'è qualche metodo più consono ad analisi 1?

Faccio un discorso generico:

$\sum_{k=0}^n y^k$ viene di solito chiamata serie geometrica troncata, si fa di solito quando si introducono le serie geometriche. E' possibile dimostrare che la somma di
$\sum_{k=0}^n y^k= (y^(n+1)-1)/(y-1)$ questa uguaglianza vale per ogni $y\inRR\setminus {1}$

Nel nostro caso $y= e^(-1)=> \sum_{k=0}^n (e^(-1))^k= ((e^(-1))^(n+1)-1)/((e^(-1))-1)= (e^(-n)(e^(1+n)-1))/(e-1)$[/quote]
Ti ringrazio tanto.Per questo inizialmente non capivo. Il mio libro non tratta quest'argomento quindi avevo buio totale. Facciamo un altro esempio:

$sum_{n=1}^(oo) (1+1/2+1/3+ ... +1/n)x^n, \ \ \ x in RR$

questa va studiata come prima?

[salvozungri]

Si, l'idea è quella, ma in questo caso non puoi determinare a priori la somma $1+1/2+1/3+...+1/n$, questa infatti non è una serie geometrica troncata. Lo hai inventato tu al momento?

Come prima indichi $b_{n}= (1+1/2+1/3+...+1/n) x^n$
Calcoli il limite $lim_{n->+oo} |b_{n+1}/b_n |= |x|<1 =>-1

[mazzy89-votailprof]

"Mathematico":Si, l'idea è quella, ma in questo caso non puoi determinare a priori la somma $1+1/2+1/3+...+1/n$, questa infatti non è una serie geometrica troncata. Lo hai inventato tu al momento?

Come prima indichi $b_{n}= (1+1/2+1/3+...+1/n) x^n$
Calcoli il limite $lim_{n->+oo} |b_{n+1}/b_n |= |x|<1 =>-1

Ora è tutto chiaro.Grazie 1000.No il limite non l'ho inventato io.E' uscito nello scorso esame di analisi 1 nel mio corso di ingegneria.Ti ringrazio per la paziensa dimostratami nello spiegarmi gli esercizi e colmare le mie lacune.

[salvozungri]

Prego