Risoluzione serie: è corretta?
Ciao ragazzi, volevo sapere da voi se i passaggi per la risoluzione di questa serie sono corretti oppure no.
$ sum log (n/(n+1)) $
Con n che va da 1 a infinito.
Io ho cercato di ragionare in questo modo riscrivendomi l'argomento del logaritmo come:
$ log (((1)/(n+1))/n) $
Così ho sfruttato le proprietà dei logaritmi scrivendo:
$ log (1)-log((n+1)/n) $
$ log (1)=0 $
$ => -sumlog(1+1/n) ~ 1/n $
E di conseguenza la mia serie, per il criterio del confronto asintotico diverge.
Il ragionamento è giusto o c'è qualche errore?
Vi ringrazio.
$ sum log (n/(n+1)) $
Con n che va da 1 a infinito.
Io ho cercato di ragionare in questo modo riscrivendomi l'argomento del logaritmo come:
$ log (((1)/(n+1))/n) $
Così ho sfruttato le proprietà dei logaritmi scrivendo:
$ log (1)-log((n+1)/n) $
$ log (1)=0 $
$ => -sumlog(1+1/n) ~ 1/n $
E di conseguenza la mia serie, per il criterio del confronto asintotico diverge.
Il ragionamento è giusto o c'è qualche errore?
Vi ringrazio.
Risposte
Stai dicendo che
\[\frac{n}{n+1} =\frac{\frac{1}{n+1}}{n}, \quad \forall n\in \mathbb{N}\]
che sarà pure vero per $n=1$, ma poi?
\[\frac{n}{n+1} =\frac{\frac{1}{n+1}}{n}, \quad \forall n\in \mathbb{N}\]
che sarà pure vero per $n=1$, ma poi?
Poi ho applicato le proprietà dei logaritmi. Non si può fare?
Magma intende dire che l'uguaglianza che hai usato è falsa, ossia $\frac{n}{n+1}\ne \frac{\frac{1}{n+1}}{n}$ in generale; infatti, se prendi $n=2$, risulta $\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$.
Il ragionamento che hai fatto dopo è corretto, a patto di correggere il procedimento perché appunto l'uguaglianza che hai usato non è vera; a tal proposito, prova a scrivere $\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$.
Il ragionamento che hai fatto dopo è corretto, a patto di correggere il procedimento perché appunto l'uguaglianza che hai usato non è vera; a tal proposito, prova a scrivere $\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$.
@Mephlip: esattamente, ma probabilmente l'intento mal riuscito dell'OP era di scrivere
\[ \frac{n/n}{(n+1)/n}=\frac{1}{\frac{n+1}{n}}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \]
\[ \frac{n/n}{(n+1)/n}=\frac{1}{\frac{n+1}{n}}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \]
Se provo a scrivere $\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$
Pongo $ X=-1/(n+1) $
E di conseguenza la mia serie, sfruttando il limite notevole, diventa $ -sum 1/(n+1)~ 1/n $ Che di consegueza diverge per il criterio del confornto asintotico. No?
Edit: @Magma Esattamente! Grazie!
Pongo $ X=-1/(n+1) $
E di conseguenza la mia serie, sfruttando il limite notevole, diventa $ -sum 1/(n+1)~ 1/n $ Che di consegueza diverge per il criterio del confornto asintotico. No?
Edit: @Magma Esattamente! Grazie!
Ciao imFrancesco,
Scusa, ma ti confesso che non ho capito il tuo ultimo post: perché non hai sfruttato ciò che ti ha già suggerito Magma per una soluzione più "pulita"?
La serie proposta è la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} log(n/(n+1)) = \sum_{n = 1}^{+\infty} log(1/(1+1/n)) = - \sum_{n = 1}^{+\infty} log(1+1/n) $
Dato che l'ultima serie scritta si comporta come la serie armonica, positivamente divergente, si conclude che la serie proposta diverge negativamente.
Scusa, ma ti confesso che non ho capito il tuo ultimo post: perché non hai sfruttato ciò che ti ha già suggerito Magma per una soluzione più "pulita"?
La serie proposta è la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} log(n/(n+1)) = \sum_{n = 1}^{+\infty} log(1/(1+1/n)) = - \sum_{n = 1}^{+\infty} log(1+1/n) $
Dato che l'ultima serie scritta si comporta come la serie armonica, positivamente divergente, si conclude che la serie proposta diverge negativamente.
"pilloeffe":
Ciao imFrancesco,
Scusa, ma ti confesso che non ho capito il tuo ultimo post: perché non hai sfruttato ciò che ti ha già suggerito Magma per una soluzione più "pulita"?
La serie proposta è la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} log(n/(n+1)) = \sum_{n = 1}^{+\infty} log(1/(1+1/n)) = - \sum_{n = 1}^{+\infty} log(1+1/n) $
Dato che l'ultima serie scritta si comporta come la serie armonica, positivamente divergente, si conclude che la serie proposta diverge negativamente.
Sisi è stato chiarissimo!
Vi ringrazio tutti
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