Risoluzione radici seconde equazione con numeri complessi
Salve a tutti,
da diversi giorni sono incastrato nella dimostrazione di questo esempio che il libro svolge in modo molto tranquillo ma, purtroppo per me, omettendo dei passaggi fondamentali.
Trovare le radici seconde della seguente equazione:
$|z|^2z^2=i$
Inizio ponendo l'equazione come $z=Re^(i\varphi)$ e sapendo che $|z|^2=R^2$, l'equazione diventa $R^2(R^2e^(i\varphi))=R^4e^(i2\varphi)=i$.
Trovo il modulo: $|z|=R=1$. E il suo argomento: $2\varphi=\pi/2+2k\pi$ che semplificando diventa $\varphi=\pi/4+k\pi$.
Perciò $e^(ipi/2)=i$
Le radici da trovare sono 2 perciò $n=2$ e $k=0,1$.
Usando la formula per le radici di un numero complesso ottengo:
$z_1=e^(ipi/4) =[cos((pi/4)/2)+i sin((pi/4)/2)]=[cos(pi/8)+isin(pi/8)]$ con $k=0$
$z_2 =e^(i(pi/4+pi))=e^(i5/4pi)=[cos((pi/4+pi)/2)+isin((pi/4+pi)/2)]=[cos(5/8pi)+isin(5/8pi)]$ con $k=1$
Quando in realtà dovrebbe essere:
$z_1 =e^(ipi/4)=(1+i)/sqrt(2)$
$z_2 =e^(i5/4pi)=(-1-i)/sqrt(2)$
Sto provando a capire l'errore da giorni ma non riesco, probabilmente sarà una sciocchezza ma non la trovo.
Grazie mille in anticipo.
da diversi giorni sono incastrato nella dimostrazione di questo esempio che il libro svolge in modo molto tranquillo ma, purtroppo per me, omettendo dei passaggi fondamentali.
Trovare le radici seconde della seguente equazione:
$|z|^2z^2=i$
Inizio ponendo l'equazione come $z=Re^(i\varphi)$ e sapendo che $|z|^2=R^2$, l'equazione diventa $R^2(R^2e^(i\varphi))=R^4e^(i2\varphi)=i$.
Trovo il modulo: $|z|=R=1$. E il suo argomento: $2\varphi=\pi/2+2k\pi$ che semplificando diventa $\varphi=\pi/4+k\pi$.
Perciò $e^(ipi/2)=i$
Le radici da trovare sono 2 perciò $n=2$ e $k=0,1$.
Usando la formula per le radici di un numero complesso ottengo:
$z_1=e^(ipi/4) =[cos((pi/4)/2)+i sin((pi/4)/2)]=[cos(pi/8)+isin(pi/8)]$ con $k=0$
$z_2 =e^(i(pi/4+pi))=e^(i5/4pi)=[cos((pi/4+pi)/2)+isin((pi/4+pi)/2)]=[cos(5/8pi)+isin(5/8pi)]$ con $k=1$
Quando in realtà dovrebbe essere:
$z_1 =e^(ipi/4)=(1+i)/sqrt(2)$
$z_2 =e^(i5/4pi)=(-1-i)/sqrt(2)$
Sto provando a capire l'errore da giorni ma non riesco, probabilmente sarà una sciocchezza ma non la trovo.
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Secondo me, fai prima con la forma algebrica $z=a+ib$ ... si arriva a $a=b$ e $a=-b$ e poi ricavi il resto ...
IMHO
Cordialmente, Alex
IMHO
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Secondo me, fai prima con la forma algebrica $z=a+ib$ ... si arriva a $a=b$ e $a=-b$ e poi ricavi il resto ...
IMHO
Cordialmente, Alex
Indubbiamente, molto più veloce ed efficacie.
Era solo per capire l'esempio del libro applicando le sue metodiche.
Riflettendoci ancora, ho capito che nella formula va inserito l'angolo $2\varphi=\pi/2+2k\pi$ e non $\varphi=\pi/4+k\pi$ altrimenti lo avrei già diviso per $n=2$ e sarebbe solo una ripetizione sbagliata.
Quindi invece del casino scritto in precedenza, ottengo:
$z_1=e^(ipi/4) =[cos((pi/2)/2)+i sin((pi/2)/2)]=[cos(pi/4)+isin(pi/4)]=(1+i)/sqrt(2)$ con $k=0$
$z_2 =e^(i(pi/4+pi))=e^(i5/4pi)=[cos((pi/2+2pi)/2)+isin((pi/2+2pi)/2)]=[cos(5/4pi)+isin(5/4pi)]=(-1-i)/sqrt(2)$
con $k=1$
Spero sia utile a chiunque sia distratto di natura come me.
Mi sfugge perché usi la formula delle radici quando non serve a nulla.
Ad ogni buon conto, osserva che l'argomento delle soluzioni si indovina "ad occhio": infatti, osservato che $z=0$ non è soluzione, l'equazione è equivalente a $z^2 = i/|z|^2$, quindi $z^2$ è un numero immaginario puro con coefficiente $>0$; da ciò segue che $"Arg"(z) = pi/4$ oppure $"Arg"(z)=-(3pi)/4$.
Inoltre, l'equazione si semplifica usando la sostituzione $w=z^2$, poiché diviene $|w|w = i$ che ha come unica soluzione $w=i$; dunque le due soluzioni dell'equazione originaria sono le due radici seconde di $i$.
Ad ogni buon conto, osserva che l'argomento delle soluzioni si indovina "ad occhio": infatti, osservato che $z=0$ non è soluzione, l'equazione è equivalente a $z^2 = i/|z|^2$, quindi $z^2$ è un numero immaginario puro con coefficiente $>0$; da ciò segue che $"Arg"(z) = pi/4$ oppure $"Arg"(z)=-(3pi)/4$.
Inoltre, l'equazione si semplifica usando la sostituzione $w=z^2$, poiché diviene $|w|w = i$ che ha come unica soluzione $w=i$; dunque le due soluzioni dell'equazione originaria sono le due radici seconde di $i$.
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