Risoluzione "rigorosa" di equazioni trascendenti
Ciao. Ho un dubbio "tecnico" riguardo alla risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche/esponenziali e goniometriche, indispensabili in uno studio di funzione e molto altro. Parto con un esempio:
Data l'equazione $sin(x)$$=$$k$, l'insieme delle soluzioni $S$ è così definito: $S$$=$${$$x$$=$$alpha$ $forallalpha$ $|$ $sin(alpha)$$=k$$}$.
Il dubbio che ho è questo: l'individuazione concreta delle soluzioni (in particolare per le disequazioni), avviene per via intuitiva, cioè, praticamente, per via "grafica" (io disegno la circonferenza goniometrica e poi in base all'equazione vedo il da farsi); il problema è che una prova grafica non è rigorosa.
Io risolverei il problema in questo modo: individuate le soluzioni per via grafica, sì può dire che $S$$=$${$$x$$=$$alpha$ $forallalpha$ $|$ $sin(alpha)$$=k$$}$ in quanto la funzione è biunivoca in intervalli di ampiezza uguale al suo periodo T, esclusi da tali intervalli alcuni punti (in questo caso: $x=0, π, 2π$), e quindi, risolta l'equazione per $x$$in$$[0,2pi]$, si aggiungono le soulzioni dovute alla periodicità della funzione seno. E' giusto? Vi prego di correggere anche ogni piccolo errore, anche nella scrittura formale, nel linguaggio, e nel ragionamento...
PS: ovviamente per logaritmi ed esponenziali non c'è bisogno di parlare anche di periodo. Ad esempio: "$a^x$$=k$ ha come insieme delle soluzioni $S={x=p | a^p=k}$ in quanto la funzione $y=a^x$ è bionivoca in tutto il suo campo di esistenza"
Data l'equazione $sin(x)$$=$$k$, l'insieme delle soluzioni $S$ è così definito: $S$$=$${$$x$$=$$alpha$ $forallalpha$ $|$ $sin(alpha)$$=k$$}$.
Il dubbio che ho è questo: l'individuazione concreta delle soluzioni (in particolare per le disequazioni), avviene per via intuitiva, cioè, praticamente, per via "grafica" (io disegno la circonferenza goniometrica e poi in base all'equazione vedo il da farsi); il problema è che una prova grafica non è rigorosa.
Io risolverei il problema in questo modo: individuate le soluzioni per via grafica, sì può dire che $S$$=$${$$x$$=$$alpha$ $forallalpha$ $|$ $sin(alpha)$$=k$$}$ in quanto la funzione è biunivoca in intervalli di ampiezza uguale al suo periodo T, esclusi da tali intervalli alcuni punti (in questo caso: $x=0, π, 2π$), e quindi, risolta l'equazione per $x$$in$$[0,2pi]$, si aggiungono le soulzioni dovute alla periodicità della funzione seno. E' giusto? Vi prego di correggere anche ogni piccolo errore, anche nella scrittura formale, nel linguaggio, e nel ragionamento...
PS: ovviamente per logaritmi ed esponenziali non c'è bisogno di parlare anche di periodo. Ad esempio: "$a^x$$=k$ ha come insieme delle soluzioni $S={x=p | a^p=k}$ in quanto la funzione $y=a^x$ è bionivoca in tutto il suo campo di esistenza"
Risposte
Preciso che il problema non è la risoluzione in sè, che peraltro è in genere piuttosto semplice, ma il trovare una spiegazione rigorosa del risultato trovato... Per esempio, per risolvere $x^2-4=0$ si possono scegliere due strade: I)disegnare la parabola ($y=x^2-4$) ed individuarne graficamente gli zeri; II) scomporre il polinomio e usare la legge di annullamento del prodotto ($x^2-4=(x+2)*(x-2)=0$ ...). Anche in questo caso, il metodo I) è più "facile" ma non rigoroso, mentre il II) sì, quindi vorrei capire come giustificare per le equazioni trascendenti la risoluzione che si intuisce graficamente.
[OT]
Euclide si rivolta nella tomba...
(Ed anche quelli che scrivono le dimostrazioni grafiche sull'American Mathematical Monthly non la prenderebbero bene...)
[/OT]
Ad ogni buon conto, nella stragrande maggioranza dei casi, basta ricordare le proprietà (e.g. monotonia, periodicità, etc...) delle funzioni elementari oppure, nei casi più estremi, alcune regole del Calcolo Differenziale per ottenere risoluzioni che vengano incontro ai tuoi standard.
P.S.:
La scrittura utilizzata per l'insieme delle soluzioni è inutilmente complicata, anzi ridondante.
"Flaviuz":
il problema è che una prova grafica non è rigorosa.
Euclide si rivolta nella tomba...
(Ed anche quelli che scrivono le dimostrazioni grafiche sull'American Mathematical Monthly non la prenderebbero bene...)
[/OT]
Ad ogni buon conto, nella stragrande maggioranza dei casi, basta ricordare le proprietà (e.g. monotonia, periodicità, etc...) delle funzioni elementari oppure, nei casi più estremi, alcune regole del Calcolo Differenziale per ottenere risoluzioni che vengano incontro ai tuoi standard.
P.S.:
"Flaviuz":
Data l'equazione $sin(x)$$=$$k$, l'insieme delle soluzioni $S$ è così definito: $S$$=$${$$x$$=$$alpha$ $forallalpha$ $|$ $sin(alpha)$$=k$$}$.
La scrittura utilizzata per l'insieme delle soluzioni è inutilmente complicata, anzi ridondante.
Premetto che sto facendo i precorsi per la laurea in fisica, e abbiamo accennato l'argomento oggi. In effetti volevo dire che per quanto riguarda le disequazioni l'evidenza grafica non è rigorosa... ma mi sbaglio? Se sì, perchè?
Inoltre, come sarebbe meglio scrivere gli elementi dell'insieme delle soluzioni $S$?
Inoltre, come sarebbe meglio scrivere gli elementi dell'insieme delle soluzioni $S$?
"Flaviuz":
Inoltre, come sarebbe meglio scrivere gli elementi dell'insieme delle soluzioni $S$?
L'insieme delle soluzioni dell'equazione \(\sin x=k\) è \(S=\{ x\in \mathbb{R} :\ \sin x=k\}\) (oppure, se proprio non ti va di chiamare gli elementi dell'insieme come la variabile, basta cambiare lettera, tipo \(S=\{\xi \in \mathbb{R}:\ \sin \xi =k\}\)).
"Flaviuz":
Premetto che sto facendo i precorsi per la laurea in fisica, e abbiamo accennato l'argomento oggi. In effetti volevo dire che per quanto riguarda le disequazioni l'evidenza grafica non è rigorosa... ma mi sbaglio? Se sì, perchè?
Più che altro mi interesserebbe sapere perchè credi che l'evidenza grafica non sia rigorosa nel caso in esame, mentre, ad esempio, la ritieni sufficiente quando si tratta di risolvere problemi di Geometria... Perché questa dicotomia?
P.S.: Per il futuro, ti prego evita di sollecitare in PM la mia partecipazione ad un thread. Grazie.
Diciamo che credo che l'evidenza grafica non sia rigorosa neanche in problemi di geometria perchè mi sembra ovvio che in matematica non basti "vedere" le cose, ma si debba dimostrarle... ad esempio, quante volte per dimostrare un teorema, nella geometria euclidea, bisogna ricorrere ad altri teoremi e a calcoli nonostante, anche solo disegnando bene le figure, la validità del teorema sia già evidente? Penso ogni volta.
Poi, forse, per quanto riguarda il problema iniziale, ho probabilmente scelto un cattivo esempio, perchè in effetti, in base alla definizione di seno di un angolo, anche solo con considerazioni geometriche si può provare il risultato di un'equazione... Mentre per quanto riguarda le disequazioni, ho capito che è sufficiente considerare proprietà della funzione come iniettività, monotonia, ecc.
Comunque grazie per le conferme che mi hai dato e per i dubbi "virtuosi" che mi hai provocato
Poi, forse, per quanto riguarda il problema iniziale, ho probabilmente scelto un cattivo esempio, perchè in effetti, in base alla definizione di seno di un angolo, anche solo con considerazioni geometriche si può provare il risultato di un'equazione... Mentre per quanto riguarda le disequazioni, ho capito che è sufficiente considerare proprietà della funzione come iniettività, monotonia, ecc.
Comunque grazie per le conferme che mi hai dato e per i dubbi "virtuosi" che mi hai provocato
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