Risoluzione problema di Cauchy (primo ordine)
Purtroppo non sono riuscito a capire come risolvere questo esercizio da due punti.
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Sia u:R->R, la soluzione al problema di Cauchy:
u'(x) = x/u(x), Per ogni x appartenente a R
u(0) = 6
Allora (u(-1))^2 =??????
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Sia u:R->R, la soluzione al problema di Cauchy:
u'(x) = x/u(x), Per ogni x appartenente a R
u(0) = 6
Allora (u(-1))^2 =??????
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Risposte
Ciao
vedo che è il tuo primo post quindi benvenuto nel forum
se ho capito bene, il tuo problema è:
$u'(x) = x/(u(x))$
con $u(0) = 6$
questa è una cosiddetta equazione differenziale a variabili separabili perchè la puoi vedere in questo modo:
[tex]\displaystyle u'(x) \frac{x}{u(x)} \Rightarrow u(x)u'(x) = x[/tex]
ora basta ricordarsi che
[tex]\displaystyle u'(x) = \frac{du(x)}{dx}[/tex]
e sostituirlo
[tex]\displaystyle u'(x) \frac{x}{u(x)} \Rightarrow u(x) \frac{du(x)}{dx} = x \Rightarrow u(x) du(x) = x dx[/tex]
fai l'integrale da entrambe le parti e ottieni
[tex]\displaystyle \int u(x) du(x) = \int x dx[/tex]
ora prova a proseguire tu.... se hai ancora problemi chiedi pure
Ciao
vedo che è il tuo primo post quindi benvenuto nel forum
se ho capito bene, il tuo problema è:
$u'(x) = x/(u(x))$
con $u(0) = 6$
questa è una cosiddetta equazione differenziale a variabili separabili perchè la puoi vedere in questo modo:
[tex]\displaystyle u'(x) \frac{x}{u(x)} \Rightarrow u(x)u'(x) = x[/tex]
ora basta ricordarsi che
[tex]\displaystyle u'(x) = \frac{du(x)}{dx}[/tex]
e sostituirlo
[tex]\displaystyle u'(x) \frac{x}{u(x)} \Rightarrow u(x) \frac{du(x)}{dx} = x \Rightarrow u(x) du(x) = x dx[/tex]
fai l'integrale da entrambe le parti e ottieni
[tex]\displaystyle \int u(x) du(x) = \int x dx[/tex]
ora prova a proseguire tu.... se hai ancora problemi chiedi pure
Ciao
Qui la cosa è ancora più banale, nel senso che il risultato lo ottieni immediatamente ricordando l'integrale notevole:
che discerne dalla derivazione di funzioni del tipo $f(x)^\alpha$.
Quindi scrivendo l'eq.ne così: $u(x)u'(x)=x$ e integrando ambo i membri, ottieni subito il risultato.
Poi, puoi fare le opportune considerazioni
.
$\intf(x)f'(x)dx=1/2f(x)^2+c$,
che discerne dalla derivazione di funzioni del tipo $f(x)^\alpha$.
Quindi scrivendo l'eq.ne così: $u(x)u'(x)=x$ e integrando ambo i membri, ottieni subito il risultato.
Poi, puoi fare le opportune considerazioni
.
Grazie ad entrambi per le risposte, quindi per l'integrale notevole verrebbe:
1/2f(x)^2 + 6
ma come faccio a determinare la f(x)
:S
1/2f(x)^2 + 6
ma come faccio a determinare la f(x)
:S
se fai l'integrale da entrambe le parti che cosa otteni?
Bene se faccio l'integrale da entrambe le parti di
∫u(x)du(x)=∫xdx
Ottengo
(u(x)^(2))/2 + C = (x^(2))/2 + C
∫u(x)du(x)=∫xdx
Ottengo
(u(x)^(2))/2 + C = (x^(2))/2 + C
esatto
Quindi
(u(x)^2)/2 + C = (x^2)/2 + C
(u(x)^2)/2 = (x^2)/2 + C - C
(u(x)^2)/2 = (x^2)/2
2(u(x)^2)/2 = 2(x^2)/2
u(x)^2 = x^2
u(x) = (+/-)sqrt(x^2)
u(x) = +x, -x
Ora aggiusto la costante:
u(0) = 6 => C = 6
u(x) = x + 6
Ora se calcolo (u(-1))^2 mi viene fuori 25, il che è sbagliato
(u(x)^2)/2 + C = (x^2)/2 + C
(u(x)^2)/2 = (x^2)/2 + C - C
(u(x)^2)/2 = (x^2)/2
2(u(x)^2)/2 = 2(x^2)/2
u(x)^2 = x^2
u(x) = (+/-)sqrt(x^2)
u(x) = +x, -x
Ora aggiusto la costante:
u(0) = 6 => C = 6
u(x) = x + 6
Ora se calcolo (u(-1))^2 mi viene fuori 25, il che è sbagliato
"DigYourOwnHole":
Sia \(u:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la soluzione al problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
u^\prime (x) = \frac{x}{u(x)} &\text{, per } x\in \mathbb{R}\\
u(0) = 6
\end{cases}
\]
Allora \(u^2(-1) =\ldots\)?
Innanzitutto, nota che la soluzione del Pdc non può mai assumere il valore nullo, altrimenti l'equazione perde significato; dato che una soluzione del PdC è una funzione continua, ciò comporta che o \(u(x)>0\) oppure \(u(x)<0\) nell'insieme di definizione (infatti, se la \(u\) non conservasse sempre lo stesso segno, per il teorema degli zeri esisterebbe un punto in cui essa sarebbe nulla, contro il fatto che \(u\) deve necessariamente essere diversa da zero). Ma, visto che \(u(0)=6>0\), è evidente che deve essere sempre \(u(x)>0\) nell'insieme di definizione.
Per trovare la \(u\) possiamo procedere come segue: moltiplicando m.a.m. la EDO per \(u(x)\) si ottiene:
\[
u(x)\ u^\prime (x) = x
\]
per ogni \(x\) in un certo intervallo intorno a \(0\); l'uguaglianza precedente implica che vale l'uguaglianza tra le funzioni integrali di punto iniziale \(0\), cioé che vale:
\[
\int_0^x u(t)\ u^\prime (t)\ \text{d} t = \int_0^x t\ \text{d} t
\]
per ogni \(x\) intorno a \(0\); usando le note regole di integrazione definita, dalla precedente uguaglianza si trae:
\[
\frac{1}{2}\ \left( u^2(x) - u^2(0)\right) = \frac{1}{2}\ x^2
\]
ossia:
\[
u^2(x) = x^2+36
\]
per ogni \(x\) intorno a \(0\)... Ma non è difficile rendersi conto che l'equazione \(u^2 = x^2+36\) definisce implicitamente un'unica funzione positiva \(u=u(x)\), cioé quella data da:
\[
u(x):=\sqrt{x^2+36}\; ,
\]
la quale è definita in tutto \(\mathbb{R}\) ed è l'unica soluzione globale del PdC assegnato.
Pertanto si ha:
\[
u^2(-1) = (-1)^2 +36 =37\; .
\]
Ciao, mille grazie per la risposta.
Il risultato di (u(-1))^2 deve essere uguale a 37
Per correttezza vi riporto il quesito originale (in allegato) non vorrei aver sbagliato nello scriverlo
Il risultato di (u(-1))^2 deve essere uguale a 37
Per correttezza vi riporto il quesito originale (in allegato) non vorrei aver sbagliato nello scriverlo
Ho fatto un semplicissimo errore di conto... Infatti \(u^2(0) = 6^2 =36\).
Grazie!
Ora è abbastanza chiaro, solo che non capisco perché hai dato l'estremo x e 0 nell'intervalli degli integrali.
Ora è abbastanza chiaro, solo che non capisco perché hai dato l'estremo x e 0 nell'intervalli degli integrali.
"DigYourOwnHole":
Grazie!
Ora è abbastanza chiaro, solo che non capisco perché hai dato l'estremo x e 0 nell'intervalli degli integrali.
Se conosci le funzioni integrali, lo capisci subito...
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