Risoluzione PDE di tipo ellittico

[frnero]

Salve devo risolvere la seguente eq differenziale alle derivate parziali

$ U_(x x) +U_ (xy)+U_yy+sin(u)=12*(x^2+y^2)+sin(x^2+y^2) $

Ho effettuato il cambiamento di coordinate:

$ { ( eta=((3)^(1/2)x/2 ),( ξ=y-(1/2)x ):} $

Non riesco a capire come trasformare le condizioni al contorno. Ad esempio in un contorno [ 0 1] x [ 0 1] ho
$ U(0,y)=y^4 $ e $ U(x,1)=1+x^4 $

Come li dovrei trasformare?

Grazie

[Raptorista1]

Devi trasformare \(U(x,y)\) in \(\hat U(\eta,\xi) = U(x(\eta,\xi),y(\eta,\xi))\). Questo ti aiuta? Fai attenzione ai domini.

[frnero]

Devi trasformare U(x,y) in U^(η,ξ)=U(x(η,ξ),y(η,ξ)). Questo ti aiuta? Fai attenzione ai domini.

Non tanto purtroppo . Le inverse sono

$ x=2/(sqrt(3))*eta ; y=ξ+(sqrt(3)/2*eta) $

ora se valuto $U(x,1)=1+x^4 $ ho che

$ x=2/(sqrt(3))*eta ; 1=ξ+(sqrt(3)/2*eta) $. Ma non riesco a capire come trasformare in $U(η,ξ)$.

Quello che mi serve è una cosa del tipo $U(N,eta)$ per poterlo implementare un programma di calcolo.(Dove N è una costante)

[frnero]

Aggiungo che considerando il cambiamento di coordinate che ho scritto sopra: l'asse x ==$eta$ e $ξ$ passa per l'origine ed è inclinata di un certo angolo rispetto a $eta$.

[frnero]

Qualche suggerimento??

[Raptorista1]

Quando cambi coordinate, anche il dominio cambia. Le condizioni su pezzi di bordo del dominio iniziale diventano condizioni sui corrispondenti pezzi del dominio trasformato. Non mi è chiaro quale parte non ti è chiara xD