Risoluzione PDE di quarto grado

[Jason1]

Ciao a tutti, nel cercare i modi di vibrazione naturali di una trave incastrata soggetta a flessione (modellizzata con Eulero-Bernoulli), ho cercato di risolvere l'equazione del moto tramite separazione delle variabili e sono giunto allo studio di questa pde:

$(partial^4(\phi(z)))/(partial z^4)-k\phi(z)=0 $

Una soluzione generale per questa equazione è
$ \phi(z)=C*sin(\root(4)(k)z) + D*cos(\root(4)(k)z) + E*sinh(\root(4)(k)z) + F*cosh(\root(4)(k)z) $

Voglio quindi calcolare le costanti C, D, E ed F imponendo le condizioni al bordo, che sono:
$\phi(0)=0$
$(partial\phi(0))/(partial z)=0$
$(partial^2\phi(L))/(partial z^2)=0$
$(partial^3\phi(L))/(partial z^3)=0$

ho quindi derivato la $ phi(z) $ e l'ho sostituita nelle equazioni, arrivando al sistema:

$ { ( D+F=0 ),( C+E=0 ),( E*sin(\root(4)(k)L)+F*cos(\root(4)(k)L)+E*sinh(\root(4)(k)L)+F*cosh(\root(4)(k)L) ),( E*cos(\root(4)(k)L)-F*sin(\root(4)(k)L)+E*cosh(\root(4)(k)L)+F*sinh(\root(4)(k)L) ):} $

risolvendo sono poi arrivato a $ cos(\root(4)(k)L)*cosh(\root(4)(k)L)=-1 $, che però non ha soluzione analitica (che io sappia).

L'idea era quella di trovare dei valori di k (delle frequenze) $ k_n=\pm n... $ con $ n \in N $ per descrivere $ \phi(z) $ come una sommatoria delle varie $ \phi(z)_n $ relative alle varie frequenze e poi sfruttare la condizione iniziale e qualche particolare proprietà della funzione per ricavare le costanti (per una PDE del primo ordine sfruttavo l'ortogonalità delle funzioni trigonometriche ad esempio). Purtroppo però non trovando soluzioni analitiche e quindi sono bloccato.

Qualcuno ha qualche idea su come andare avanti? (volendo ho anche il risultato dell'esercizio se può far comodo)

[gugo82]

Se trovi difficoltà le lasci indeterminate, le approssimi col calcolatore, e vai avanti...

Il risultato del testo che dice?