Risoluzione numero complesso
dato il numero complesso:
z=1-radice(3i)
devo calcolare il valore di z^5
se qualcuno potrebbe mettermi anche i passaggi per capire...
CIAO e GRAZIE!
z=1-radice(3i)
devo calcolare il valore di z^5
se qualcuno potrebbe mettermi anche i passaggi per capire...
CIAO e GRAZIE!
Risposte
dovrebbe essere così:
1-rad(3i)=z^5
scrivendo z^5 in forma trigonometrica diventa:
theta=arcotg(-rad(3))
rho=rad(1^2+rad(3i)^2)=rad(4)=2
quindi...
z^5=rho(cos(theta)+i(sen(theta))=2(cos(arctg(-rad(3))+isen(arctg(-rad(3))
applicando le formule di de moivre...
z=radquinta(rho)( ((cos(theta))/5)+2kpi + i ((sen(theta))/5)+ 2kpi )
al variare di k da 0 a 4 si hanno le soluzioni dell'equazione.
TheWiz@rd
1-rad(3i)=z^5
scrivendo z^5 in forma trigonometrica diventa:
theta=arcotg(-rad(3))
rho=rad(1^2+rad(3i)^2)=rad(4)=2
quindi...
z^5=rho(cos(theta)+i(sen(theta))=2(cos(arctg(-rad(3))+isen(arctg(-rad(3))
applicando le formule di de moivre...
z=radquinta(rho)( ((cos(theta))/5)+2kpi + i ((sen(theta))/5)+ 2kpi )
al variare di k da 0 a 4 si hanno le soluzioni dell'equazione.
TheWiz@rd
L'esercizio non chiede di trovare le radici quinte di z , ma di calcolare il numero complesso : z^5.
Quindi esprimi prima z in forma trigonometrica e poi eleva alla quinta che vuol dire elevare alla quinta il modulo e moltiplicare per 5 l'argomento del coseno e del seno.
In conclusione : (1+rad(3)i) = 2*[cos(-pi/3)+i*sin(-pi/3)], essendo |z| = 2 e theta = -pi/3.
z^5 = (2^5)*[cos(-5*pi/3)+i*sin(-5*pi/3)] = 16*(1+i*rad(3)).
Camillo
Quindi esprimi prima z in forma trigonometrica e poi eleva alla quinta che vuol dire elevare alla quinta il modulo e moltiplicare per 5 l'argomento del coseno e del seno.
In conclusione : (1+rad(3)i) = 2*[cos(-pi/3)+i*sin(-pi/3)], essendo |z| = 2 e theta = -pi/3.
z^5 = (2^5)*[cos(-5*pi/3)+i*sin(-5*pi/3)] = 16*(1+i*rad(3)).
Camillo
aggiungerei che z ha due valori, corrispondenti alle due radici di (3i).
e anche z^5 ha due valori.
tony
e anche z^5 ha due valori.
tony
Per elevare un numero complesso in genere si procede cosi':
a) Si scrive il numero in forma esponenziale:
r exp ( i t )
b) Si eleva r per la potenza e si moltiplica i t per lo stesso valore:
Se n e' naturale:
z = r exp ( i t ) ==> z^n = ( r exp ( i t) )^n = r^n exp ( i n t )
Se non te lo ricordassi:
r = abs ( z ) = sqrt ( (Re z)^2 + (Im z)^2 ) (sqrt e' la radice quadrata)
t = arctan ( Im z / Re z ) (se z e' nel primo quadrante)
Qui limitandomi al caso radice(3i) nel primo quadrante:
r = (4+6^(1/2))^(1/2)
t = arctan ( -6^(1/2)+3 )
z^5 = 1/32*(2+6^(1/2)+i*6^(1/2))^5
(I calcoli li ho fatti usando il toolbox simbolico di Matlab)
a) Si scrive il numero in forma esponenziale:
r exp ( i t )
b) Si eleva r per la potenza e si moltiplica i t per lo stesso valore:
Se n e' naturale:
z = r exp ( i t ) ==> z^n = ( r exp ( i t) )^n = r^n exp ( i n t )
Se non te lo ricordassi:
r = abs ( z ) = sqrt ( (Re z)^2 + (Im z)^2 ) (sqrt e' la radice quadrata)
t = arctan ( Im z / Re z ) (se z e' nel primo quadrante)
Qui limitandomi al caso radice(3i) nel primo quadrante:
r = (4+6^(1/2))^(1/2)
t = arctan ( -6^(1/2)+3 )
z^5 = 1/32*(2+6^(1/2)+i*6^(1/2))^5
(I calcoli li ho fatti usando il toolbox simbolico di Matlab)
La soluzione che ho dato prima non è corretta in quanto ho letto male il testo originario ; l'ho letto come z= (1-i*rad(3)) ; invece è : z= 1 -rad(3i).
Tutto da rifare.
Camillo
Tutto da rifare.
Camillo
però, camillo, a pensarci bene, forse la tua interpretazione era più realistica.
mi spiego:
(1-sqrt(3)*i)^5 è un esercizietto per verificare con numeri semplici se l'allievo ha capito il meccanismo, ed eventualmente fargli notare che si può arrivare al risultato in due modi:
1 - il velocissimo trigonometrico da te indicato (e da me preferito!)
2 - una pallosa espansione della potenza del binomio, con i reletivi risultati di i^n da 1 a 5 da rassettare (perchè per esempio, i^2=-1 e i^5=i)
invece(1-sqrt(3*i))^5 mescola due difficoltà: quella del calcolo delle due radici, e quella dell'elevazione a potenza;
ma implica una sadica camionata di calcoli, visto che il corretto risultato di david_e non è quello finale, ma lascia all'allievo il compito dell'elevazione a potenza.
seguendo un impulso masochistico sono andato avanti, arrivando ad uno (quale dei due?, mi sono perso ...) dei risultati
x1=(17*sqrt(6) - 44) + (30-13*sqrt(6))*i è carino, quindi pare plausibile, ma non ci scommetterei tanto.
e, per l'allievo tutto questo ciarpame di calcoli sarebbe tempo (secono me) sprecato.
tony
mi spiego:
1 - il velocissimo trigonometrico da te indicato (e da me preferito!)
2 - una pallosa espansione della potenza del binomio, con i reletivi risultati di i^n da 1 a 5 da rassettare (perchè per esempio, i^2=-1 e i^5=i)
invece
ma implica una sadica camionata di calcoli, visto che il corretto risultato di david_e non è quello finale, ma lascia all'allievo il compito dell'elevazione a potenza.
seguendo un impulso masochistico sono andato avanti, arrivando ad uno (quale dei due?, mi sono perso ...) dei risultati
e, per l'allievo tutto questo ciarpame di calcoli sarebbe tempo (secono me) sprecato.
tony
esprimi il numero complesso in formula trigonometrica e applica la formula di De Moivre che ti ricordo è
z^n=rho^n(cos(nrho)+isen(nrho))
z^n=rho^n(cos(nrho)+isen(nrho))
questo, che citavo al n. (1) del mio msg precedente come "il mio modo preferito", si desume dalle chiare spiegazioni date a suo tempo da david_e e da camillo.
faccio notare che, con seni e coseni, si rischia di perder di vista i valori delle variabili iniziali, "macinati" dalla macchinetta trigonometrica. [mi spiego: dovremmo calcolare sin(5*atan(i2/r2) ]
per es, penso che lo "sqrt(6)" che appare - ammesso che sia corretto- nel risultato da me dato, sia fortemente legato al valore "3" dell'espressione originale; e se ne sarebbe persa traccia ricorrendo alla trigonometria.
per questo, per esporre il risultato, ho usato il sistema (2), che definivo "2 - una pallosa espansione della potenza del binomio", che mi ha consentito di arrivare in fondo con calcolo totalmente simbolico.
tony
p.s.
comunque, qui mi pare che il problema non sia più ormai "come risolvere" l'esercizio, bensì "com'era probabilmente il testo" dell'esercizio
faccio notare che, con seni e coseni, si rischia di perder di vista i valori delle variabili iniziali, "macinati" dalla macchinetta trigonometrica. [mi spiego: dovremmo calcolare sin(5*atan(i2/r2) ]
per es, penso che lo "sqrt(6)" che appare - ammesso che sia corretto- nel risultato da me dato, sia fortemente legato al valore "3" dell'espressione originale; e se ne sarebbe persa traccia ricorrendo alla trigonometria.
per questo, per esporre il risultato, ho usato il sistema (2), che definivo "2 - una pallosa espansione della potenza del binomio", che mi ha consentito di arrivare in fondo con calcolo totalmente simbolico.
tony
p.s.
comunque, qui mi pare che il problema non sia più ormai "come risolvere" l'esercizio, bensì "com'era probabilmente il testo" dell'esercizio
l'ho detta grossa:
l'idea di calcolare in modo simbolico il sin(5*atan(t)) mi aveva intimorito;
però, con un po' di pazienza e qualche passaggio a manina ho visto che si arriva ad un risultato analitico pulito:
sin(5*atan(t))= [5t -10t^3 +t^5] / sqrt[(1+t^2)^5
analogamente per il coseno:
cos(5*atan(t))= [1 -10t^2 +5t^4] / sqrt[(1+t^2)^5]
interessante notare quei 5 e quei 10: sono i coeff. binomiali.
morale: anche con questo metodo trigonometrico, volendo un risultato analitico si deve passare dalle forche caudine del palloso sviluppo della potenza di un binomio.
tony
quote:
... faccio notare che, con seni e coseni, si rischia di perder di vista i valori delle variabili iniziali, "macinati" dalla macchinetta trigonometrica. [mi spiego: dovremmo calcolare sin(5*atan(i2/r2) ]
per es, penso che lo "sqrt(6)" che appare - ammesso che sia corretto- nel risultato da me dato, sia fortemente legato al valore "3" dell'espressione originale; e se ne sarebbe persa traccia ricorrendo alla trigonometria.
per questo, per esporre il risultato, ho usato il sistema (2), che definivo "2 - una pallosa espansione della potenza del binomio", che mi ha consentito di arrivare in fondo con calcolo totalmente simbolico.
[tony]
l'idea di calcolare in modo simbolico il sin(5*atan(t)) mi aveva intimorito;
però, con un po' di pazienza e qualche passaggio a manina ho visto che si arriva ad un risultato analitico pulito:
analogamente per il coseno:
interessante notare quei 5 e quei 10: sono i coeff. binomiali.
morale: anche con questo metodo trigonometrico, volendo un risultato analitico si deve passare dalle forche caudine del palloso sviluppo della potenza di un binomio.
tony
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