Risoluzione limiti indeterminati senza la reg. di L'Hôpital

[OCCASVS]

Ciao.

Ho dei dubbi sulla risoluzione di questi limiti:

$lim_(x->0)(1/(x*tan(x))-1/(x*sin(x)))$

$lim_(x->0)((sin(x^4))/(sin^2(x^2)))$

Per il primo limite, ho provato a fare cosí:
$lim_(x->0)(1/(x*(sin(x)/cos(x)))-1/(x*sin(x)))$
$lim_(x->0)((cos(x)-1)/(x*sin(x)))$
$-lim_(x->0)((1-cos(x))/(x^2+o(x)))) = -1/2$
Essendo $x*sin(x) = x(x+o(x))$ per $x->0$, e avendo moltiplicato per $-1$ "dentro" e "fuori" il limite.

EDIT:
Ho provato anche a proseguire cosí:
$lim_(x->0)(1/(x*(sin(x)/cos(x)))-1/(x*sin(x)))$
$lim_(x->0)((cos(x)-1)/(x*sin(x)))$
$lim_(x->0)((cos(x)-1)/(x*sin(x))*(cos(x)+1)/(cos(x)+1))$
$lim_(x->0)((cos^2(x)-1)/(x*sin(x)((cos(x)+1))))$
$lim_(x->0)((sin^2(x))/(x*sin(x)*cos(x)+x*sin(x)))$
$lim_(x->0)((sin^2(x))/(x*sin(x)*(cos(x)+1)))$
$lim_(x->0)((sin(x))/(x*(cos(x)+1)))$
$lim_(x->0)((sin(x))/x*sin(x)/(cos(x)+1)) = 1 * 0/2 = 0$

Qual è la soluzione esatta? Dov'è l'errore?

Per il secondo limite, non so proprio come partire.
Ho provato a porre $x^2=z$, ma non riesco a procedere con $lim_(x->0)(sin(z^2)/(sin^2(z))).

Avreste per caso qualche indicazione da darmi?

Grazie!

[gugo82]

"OCCASVS":Ciao.

Ho dei dubbi sulla risoluzione di questi limiti:

$lim_(x->0)(1/(x*tan(x))-1/(x*sin(x)))$

$lim_(x->0)((sin(x^4))/(sin^2(x^2)))$

Per il primo limite, ho provato a fare cosí:
$lim_(x->0)(1/(x*(sin(x)/cos(x)))-1/(x*sin(x)))$
$lim_(x->0)((cos(x)-1)/(x*sin(x)))$

Arrivato a questo punto ti basta moltiplicare e dividere per $x$ per ottenere due limiti riconducibili a fondamentali, ossia $(cos x-1)/x^2$ e $x/(sin x)$.

"OCCASVS":Per il secondo limite, non so proprio come partire.
Ho provato a porre $x^2=z$, ma non riesco a procedere con $lim_(x->0)(sin(z^2)/(sin^2(z))).

Ok, sei partito bene; ora ti basta ricondurti al limite fondamentale del seno.

[OCCASVS]

"Gugo82":[quote="OCCASVS"]Ciao.

Ho dei dubbi sulla risoluzione di questi limiti:

$lim_(x->0)(1/(x*tan(x))-1/(x*sin(x)))$

$lim_(x->0)((sin(x^4))/(sin^2(x^2)))$

Per il primo limite, ho provato a fare cosí:
$lim_(x->0)(1/(x*(sin(x)/cos(x)))-1/(x*sin(x)))$
$lim_(x->0)((cos(x)-1)/(x*sin(x)))$

Arrivato a questo punto ti basta moltiplicare e dividere per $x$ per ottenere due limiti riconducibili a fondamentali, ossia $(cos x-1)/x^2$ e $x/(sin x)$.[/quote]
Perfetto! Ho ottenuto la soluzione, ovvero $-1/2$.

In ogni caso, la soluzione ottenuta con le funzioni trascurabili è corretta formalmente?

"OCCASVS":Per il secondo limite, non so proprio come partire.
Ho provato a porre $x^2=z$, ma non riesco a procedere con $lim_(x->0)(sin(z^2)/(sin^2(z))).

Ok, sei partito bene; ora ti basta ricondurti al limite fondamentale del seno.

Ti riferisci al limite $lim_(x->0)(sin(x)/x) = 1$, giusto? Non riesco ancora a trovare il modo per arrivare a quella forma da $lim_(z->0)(sin(z^2)/(sin^2(z)))

[@melia]

Come ti ha già detto Gugo il più è fatto

$lim_(z->0)(sin(z^2)/(sin^2(z)))=lim_(z->0)(sin(z^2)/z^2 * (z/sinz)^2)$, adesso riesci a concludere?

[OCCASVS]

"@melia":Come ti ha già detto Gugo il più è fatto

$lim_(z->0)(sin(z^2)/(sin^2(z)))=lim_(z->0)(sin(z^2)/z^2 * (z/sinz)^2)$, adesso riesci a concludere?

Finalmente sí

Questo tipo di limiti credo di averli capiti piú o meno.
Grazie

EDIT:
A questo punto, non riesco a calcolare questo limite:
$lim_(x->pi)((cos(x)+1)/(cos(3x)+1))

Come posso partire? Ho provato a risolvere come gli altri esercizi, dividendo numeratore e denominatore per $x$ e $x^2$, ma non ottengo nessun progresso.
Invece, moltiplicando numeratore e denominatore per $cos(x)-1$, ottengo al numeratore $(cos^2(x))-1$.

In ogni caso, comunque, non posso ricondurmi ai limiti notevoli per $x->pi$.

[cirasa]

Allora prova a fare la sostituzione $y=x-\pi$.
Si ha che $y\to 0$ e $x=y+\pi$.
Poi applica le formule del coseno di una somma.