Risoluzione limiti con logaritmo
Ciao. ho un po' di problemi a risolvere (e forse a capire) i limiti con il logaritmo.
Ecco un esercizio: $lim_(n -> oo) ln(1+n)/ln(3n)$ secondo me il risultato è $ln(1/3)$ ma il libro riporta $1$
Oppure quest'altro, $lim_(n -> oo) ln(1+n)/ln(2n^2)$ ... il libro riporta $1/2$ come soluzione, ma secondo me c'è una $n$ che manca...
L'ultimo è $lim_( n -> oo) ln ((n^2+2)/(4n^2))$... a me risulterebbe $1/4$ mentre il risultato è $-2 ln(2)$ e non capisco che procedimento ha seguito...
Qualcuno mi saprebbe dare una mano per capire?
grazie!
Ecco un esercizio: $lim_(n -> oo) ln(1+n)/ln(3n)$ secondo me il risultato è $ln(1/3)$ ma il libro riporta $1$
Oppure quest'altro, $lim_(n -> oo) ln(1+n)/ln(2n^2)$ ... il libro riporta $1/2$ come soluzione, ma secondo me c'è una $n$ che manca...
L'ultimo è $lim_( n -> oo) ln ((n^2+2)/(4n^2))$... a me risulterebbe $1/4$ mentre il risultato è $-2 ln(2)$ e non capisco che procedimento ha seguito...
Qualcuno mi saprebbe dare una mano per capire?
grazie!
Risposte
Prova a farci vedere coma hai svolto gli esercizi.
in realtà ho un po' di difficoltà a capire come risolverli. Sulle dispense del professore, da cui sto studiando, non si sofferma sui limiti con i logaritmi.
Ad ogni modo, prendendo il primo come esempio, io farei $lim_(n -> oo) ln(1+n)/ln(3n) = lim_(n -> oo) ln ((1+n)/(3n))$ e prendo il termine di grado superiore, quindi $ln (n/(3n))$ semplifico la $n$ ottenendo $ln (1/3)$
Spero di non aver fatto una cavolata "unendo" i due $ln$ .. ma non mi ricordo bene come svolgere i logaritmi, ho provato a cercare su alcuni vecchi testi, ma non ho trovato nulla di esaudiente. Soprattutto perchè $ln$ ha base $e$ ... e questo, secondo me, complica un po' le cose per calcolare il valore esatto di un logaritmo
Ad ogni modo, prendendo il primo come esempio, io farei $lim_(n -> oo) ln(1+n)/ln(3n) = lim_(n -> oo) ln ((1+n)/(3n))$ e prendo il termine di grado superiore, quindi $ln (n/(3n))$ semplifico la $n$ ottenendo $ln (1/3)$
Spero di non aver fatto una cavolata "unendo" i due $ln$ .. ma non mi ricordo bene come svolgere i logaritmi, ho provato a cercare su alcuni vecchi testi, ma non ho trovato nulla di esaudiente. Soprattutto perchè $ln$ ha base $e$ ... e questo, secondo me, complica un po' le cose per calcolare il valore esatto di un logaritmo
"Loverdrive":
in realtà ho un po' di difficoltà a capire come risolverli. Sulle dispense del professore, da cui sto studiando, non si sofferma sui limiti con i logaritmi.
Quando ero studente io, si usavano anche i libri e gli eserciziari, perchè a volte "il tempo era tiranno" ed il docente non riusciva a spiegare tutto.
"Loverdrive":
Ad ogni modo, prendendo il primo come esempio, io farei $lim_(n -> oo) ln(1+n)/ln(3n) = lim_(n -> oo) ln ((1+n)/(3n))$ e prendo il termine di grado superiore, quindi $ln (n/(3n))$ semplifico la $n$ ottenendo $ln (1/3)$
Spero di non aver fatto una cavolata "unendo" i due $ln$ .. ma non mi ricordo bene come svolgere i logaritmi, ho provato a cercare su alcuni vecchi testi, ma non ho trovato nulla di esaudiente. Soprattutto perchè $ln$ ha base $e$ ... e questo, secondo me, complica un po' le cose per calcolare il valore esatto di un logaritmo
Ohibò! E da quando in qua [tex]$\frac{\ln a}{\ln b} =\ln \left( \frac{a}{b} \right)$[/tex]?
Più che altro dovresti applicare la proprietà [tex]$\ln (ab)=\ln a+\ln b$[/tex], in questo modo:
[tex]$\frac{\ln (1+n)}{\ln 3n} =\frac{\ln \left[ n\ (\frac{1}{n} +1)\right]}{\ln 3n} =\frac{\ln n + \ln (\frac{1}{n} +1)}{\ln 3+ \ln n}$[/tex]...
Ora credo tu sappia terminare l'esercizio anche da solo.
P.S.: Come eserciziari, puoi dare un'occhiata al Marcellini-Sbordone ad esempio.
Fai attenzione perchè non vale $logf(x)/logg(x) = log(f(x)/g(x))$
Prova a ragionare con i singoli logaritmi e inizia col lavorare sull'argomento del logaritmo al numeratore.
EDIT: scusa gugo^^
Prova a ragionare con i singoli logaritmi e inizia col lavorare sull'argomento del logaritmo al numeratore.
EDIT: scusa gugo^^
"gugo82":
Ohibò! E da quando in qua [tex]$\frac{\ln a}{\ln b} =\ln \left( \frac{a}{b} \right)$[/tex]?
Più che altro dovresti applicare la proprietà [tex]$\ln (ab)=\ln a+\ln b$[/tex], in questo modo:
[tex]$\frac{\ln (1+n)}{\ln 3n} =\frac{\ln \left[ n\ (\frac{1}{n} +1)\right]}{\ln 3n} =\frac{\ln n + \ln (\frac{1}{n} +1)}{\ln 3+ \ln n}$[/tex]...
Ora credo tu sappia terminare l'esercizio anche da solo.
Ok grazie mille, credo di aver capito!
Il risultato mi viene, ma per sicurezza lo riporto qua
continuando ottengo $(ln(n)+ln(1/n +1))/(ln(3)+ln(n))$ e come per i polinomi tengo solo il termine di "grado maggiore", quindi tengo solo $ln(n)/ln(n)$... semplifico i due logaritmi ottenendo 1.
Poi anche l'altro (simile) mi è venuto... ho usato anche la regola delle potenze dell'argomento del logaritmo.
EDIT: ok, adesso mi viene anche il terzo! ho finalmente capito come risolvere questi limiti, grazie!
P.S.: Come eserciziari, puoi dare un'occhiata al Marcellini-Sbordone ad esempio.
Ok, adesso lo cerco.
grazie mille per l'aiuto!
"Loverdrive":
[quote="gugo82"]
Ohibò! E da quando in qua [tex]$\frac{\ln a}{\ln b} =\ln \left( \frac{a}{b} \right)$[/tex]?
Più che altro dovresti applicare la proprietà [tex]$\ln (ab)=\ln a+\ln b$[/tex], in questo modo:
[tex]$\frac{\ln (1+n)}{\ln 3n} =\frac{\ln \left[ n\ (\frac{1}{n} +1)\right]}{\ln 3n} =\frac{\ln n + \ln (\frac{1}{n} +1)}{\ln 3+ \ln n}$[/tex]...
Ora credo tu sappia terminare l'esercizio anche da solo.
Ok grazie mille, credo di aver capito!
Il risultato mi viene, ma per sicurezza lo riporto qua
continuando ottengo $(ln(n)+ln(1/n +1))/(ln(3)+ln(n))$ e come per i polinomi tengo solo il termine di "grado maggiore", quindi tengo solo $ln(n)/ln(n)$... semplifico i due logaritmi ottenendo 1.
Poi anche l'altro (simile) mi è venuto... ho usato anche la regola delle potenze dell'argomento del logaritmo.
EDIT: ok, adesso mi viene anche il terzo! ho finalmente capito come risolvere questi limiti, grazie!
P.S.: Come eserciziari, puoi dare un'occhiata al Marcellini-Sbordone ad esempio.
Ok, adesso lo cerco.
grazie mille per l'aiuto![/quote]
Ciao, visto che sono uno studente anche io, mi permetto di darti un consiglio. Gugo, giustamente, ti ha consigliato come eserciziario il Marcellini-Sbordone, io ce l'ho questo libro e va più che bene, però se vuoi esercitarti a dovere nel calcolare i limiti, di funzioni e successioni, ti consiglio di fare gli esercizi di Andrea Braides, che si trovano facilmente in rete. Io ho un altro libro di esercizi e tutta la parte dei limiti (con svolgimenti passo passo) è firmata Andrea Braides...fatteli e vedi che risolverai molti dei tuoi dubbi, io li ho fatti e devo dire che mi hanno aiutato molto, oltre all'aiuto fornitomi da questo forum...ciao
"Soscia":
Ciao, visto che sono uno studente anche io, mi permetto di darti un consiglio. Gugo, giustamente, ti ha consigliato come eserciziario il Marcellini-Sbordone, io ce l'ho questo libro e va più che bene, però se vuoi esercitarti a dovere nel calcolare i limiti, di funzioni e successioni, ti consiglio di fare gli esercizi di Andrea Braides, che si trovano facilmente in rete. Io ho un altro libro di esercizi e tutta la parte dei limiti (con svolgimenti passo passo) è firmata Andrea Braides...fatteli e vedi che risolverai molti dei tuoi dubbi, io li ho fatti e devo dire che mi hanno aiutato molto, oltre all'aiuto fornitomi da questo forum...ciao
ok, grazie mille anche a te!
scusate, ho ripreso i calcoli e ho qualche dubbio su un esercizio in particolare:
$lim_(x->oo) ln((n^2+2)/(4n^2)) = ln(n^2+2)-ln(4n^2)= ln(n^2(1+1/n^2)) - ln(2n)^2 = ln(n^2)+ln(1)-ln(2n)^2 = ln(n)^2 - ln(2n)^2 = 2ln(n) - 2ln(2n) = 2ln(n) - 2ln(2) + ln(n) $
ecco, a quest'ultimo passaggio... sapendo già che il risultato è $-2ln(2)$ ... dovrei mandare via $2ln(n)$ e $ln(n)$... ma come?
$lim_(x->oo) ln((n^2+2)/(4n^2)) = ln(n^2+2)-ln(4n^2)= ln(n^2(1+1/n^2)) - ln(2n)^2 = ln(n^2)+ln(1)-ln(2n)^2 = ln(n)^2 - ln(2n)^2 = 2ln(n) - 2ln(2n) = 2ln(n) - 2ln(2) + ln(n) $
ecco, a quest'ultimo passaggio... sapendo già che il risultato è $-2ln(2)$ ... dovrei mandare via $2ln(n)$ e $ln(n)$... ma come?
"Loverdrive":Occhio a questo passaggio!
2ln(n) - 2ln(2n) = 2ln(n) - 2ln(2) + ln(n) $
$2ln(n) - 2ln(2n) = 2ln(n) - 2*(ln(n)+ln(2))
"Loverdrive":
scusate, ho ripreso i calcoli e ho qualche dubbio su un esercizio in particolare:
$lim_(x->oo) ln((n^2+2)/(4n^2)) = ln(n^2+2)-ln(4n^2)= ln(n^2(1+1/n^2)) - ln(2n)^2 = ln(n^2)+ln(1)-ln(2n)^2 = ln(n)^2 - ln(2n)^2 = 2ln(n) - 2ln(2n) = 2ln(n) - 2ln(2) + ln(n) $
ecco, a quest'ultimo passaggio... sapendo già che il risultato è $-2ln(2)$ ... dovrei mandare via $2ln(n)$ e $ln(n)$... ma come?
Sistemiamo un po' le cose ...
intanto $lim_(x->oo) ln((n^2+2)/(4n^2)) $ per essere coerenti nella scrittura dovrebbe essere $lim_(n->oo) ln((n^2+2)/(4n^2)) $ ed il simbolo di limite deve essere riportato anche nei passaggi successivi.
poi $ln(n^2+2)-ln(4n^2)= ln(n^2(1+1/n^2)) - ln(2n)^2 $ non è corretto, deve risultare $ln(n^2+2)-ln(4n^2)= ln(n^2(1+2/n^2)) - ln(2n)^2$ e a questo punto puoi procedere con gli ulteriori sviluppi del logaritmo e infine puoi fare il limite.
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