Risoluzione limite tramite asintotici
Salve a tutti vorrei avere un informazione riguardo la risoluzione di questo esercizio di un limite che vorrei risolvere cercando di usare gli asintotici.
L'esercizio è il seguente:
Si calcoli, al variare del parametro α ∈ R, il valore del seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{\alpha }ln\left ( cosx \right )}{\sqrt{\alpha ^{2}+sinx}-\left | \alpha \right |} \)
Per il numeratore avevo pensato di fare i seguenti passaggi
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{\alpha }ln\left ( cosx \right )=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{\alpha }ln\left ( 1+\left (cosx-1 \right ) \right )\sim x^{\alpha }\left (cosx-1 \right )=-x^{\alpha }\left (1-cosx \right )\sim -x^{\alpha }\frac{1}{2}x^{2}=-\frac{1}{2}x^{\alpha +2} \)
Mentre per il denominatore non saprei come fare. Inoltre vorrei sapere se è possibile fare questa operazione:
Essendo \(\displaystyle sinx\sim x \) per x->0 è possibile fare:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\sqrt{\alpha ^{2}+sinx}-\left | \alpha \right |\sim \sqrt{\alpha ^{2}+x}-\left | \alpha \right | \)
Anche se fosse possibile però non saprei come continuare.
L'esercizio è il seguente:
Si calcoli, al variare del parametro α ∈ R, il valore del seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{\alpha }ln\left ( cosx \right )}{\sqrt{\alpha ^{2}+sinx}-\left | \alpha \right |} \)
Per il numeratore avevo pensato di fare i seguenti passaggi
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{\alpha }ln\left ( cosx \right )=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{\alpha }ln\left ( 1+\left (cosx-1 \right ) \right )\sim x^{\alpha }\left (cosx-1 \right )=-x^{\alpha }\left (1-cosx \right )\sim -x^{\alpha }\frac{1}{2}x^{2}=-\frac{1}{2}x^{\alpha +2} \)
Mentre per il denominatore non saprei come fare. Inoltre vorrei sapere se è possibile fare questa operazione:
Essendo \(\displaystyle sinx\sim x \) per x->0 è possibile fare:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\sqrt{\alpha ^{2}+sinx}-\left | \alpha \right |\sim \sqrt{\alpha ^{2}+x}-\left | \alpha \right | \)
Anche se fosse possibile però non saprei come continuare.
Risposte
Ciao Eneru,
essendo la funzione continua nei dintorni ( positivi) di 0 per qualsiasi alpha la cosa più semplice è semplicemente calcolarlo e diventa uguale a 0
essendo la funzione continua nei dintorni ( positivi) di 0 per qualsiasi alpha la cosa più semplice è semplicemente calcolarlo e diventa uguale a 0
Non riesco però a capire come faccio a calcolare quel limite
Gli asintotici li puoi usare per portare la funzione in una forma che abbia un limite ovvio, ma in questo caso non ti possono servire perchè già la forma della funzione esplicita il suo valore in 0 ( ed è continua in quell'intorno!), semmai la difficoltà potrebbe essere dimostrare la continuità della funzione
Si hai ragione chiedo scusa il fatto è che ho sbagliato a scrivere il segno del denominatore. La funzione sarebbe questa:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{\alpha }ln\left ( cosx \right )}{\sqrt{\alpha ^{2}+sinx}-\left | \alpha \right |} \)
Quindi in questo modo esce una forma di indecisione 0/0. Sapreste dirmi ora in che modo si può risolvere il problema?
Chiedo ancora scusa per il mio errore.
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{\alpha }ln\left ( cosx \right )}{\sqrt{\alpha ^{2}+sinx}-\left | \alpha \right |} \)
Quindi in questo modo esce una forma di indecisione 0/0. Sapreste dirmi ora in che modo si può risolvere il problema?
Chiedo ancora scusa per il mio errore.
Tranquillo, gli errori, di battitura poi, capitano a tutti
comunque sì, l'ultimo passaggio suggerito è valido e ciò ci riconduce a dover trovare il limite della funzione $ ((-1/2)x^(a+2))/(sqrt(a^2+x)-|a|)$ ma a questo punto dubito si possa fare senza de L'Hopital e derivando entrambi i membri si ottiene $sqrt(a^2+x)(a+2)x^(a+1)$ di cui diventa facile trovare il limite
comunque sì, l'ultimo passaggio suggerito è valido e ciò ci riconduce a dover trovare il limite della funzione $ ((-1/2)x^(a+2))/(sqrt(a^2+x)-|a|)$ ma a questo punto dubito si possa fare senza de L'Hopital e derivando entrambi i membri si ottiene $sqrt(a^2+x)(a+2)x^(a+1)$ di cui diventa facile trovare il limite
scusa errore mio, si può effettivamente fare con gli asintotici: moltiplichi entrambi i membri per $(sqrt(a^2+x))+a$ e diventa $ (-1/2x^(a+1))(sqrt(a^2+x)+|a|)$
la a volevo metterla come valore assoluto nella prima ops...
Ok grazie mille ho capito. Alla fine semplificando un po esce:
\(\displaystyle -\left | \alpha \right |x^{\alpha +1}=\left\{\begin{matrix}
-\infty & \alpha <-1\\
-1 & \alpha =-1\\
0^{-} & \alpha >-1
\end{matrix}\right. \)
\(\displaystyle -\left | \alpha \right |x^{\alpha +1}=\left\{\begin{matrix}
-\infty & \alpha <-1\\
-1 & \alpha =-1\\
0^{-} & \alpha >-1
\end{matrix}\right. \)
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