Risoluzione limite parametrico

[StudMat2016]

Salve a tutti, volevo chiedervi se potete aiutarmi a risolvere questo limite parametrico:
"dire per quali valori di lambda, esiste il seguente limite: "



Grazie in anticipo a tutti voi !!!

[bosmer-votailprof]

Riscrivo qui il limite in modo che sia utile a chiunque
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(x^2y^{3-\lambda})}{(xy)^\lambda}
$$

Adesso innanzi tutto il numeratore si può sostituire con il rispettivo asintotico ovvero l'argomento del coseno elevato al quadrato, quindi ci ritroviamo a dover risolvere il limite:
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4y^{2(3-\lambda)}}{(xy)^\lambda}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}x^{4-\lambda}y^{3(2-\lambda)}
$$

Questo fintanto che l'argomento del coseno tende a zero, quindi iniziamo a notare prima di tutto che $3-\lambda>0$ ovvero $\lambda<3$ altrimenti la $y$ finisce a denominatore all'interno dell'argomento del coseno, finendo la $y$ al denominatore l'argomento del coseno non tende più a zero, anzi il limite dell'argomento non esiste, e di riflesso puoi dimostrare che tutto il limite non esiste per $\lambda\geq 3$.

Ora per $\lambda<3$ puoi applicare l'asintotico e studiare il secondo limite, per il quale noti che $2-\lambda>0$ altrimenti anche in questo caso la $y$ finisce a denominatore causando la non esistenza del limite.

Per $\lambda=2$ il limite esiste chiaramente, e fa zero, e continua a far zero anche per $\lambda<2$.

Provare per credere.

[StudMat2016]

Grazie Bossmer !! Gentilissimo