Risoluzione limite forma indeterminata 0/0

[ton32]

salve a tutti!
Mi è sorto un dubbio svolgendo un limite utilizzando i limiti notevoli.
Il limite in questione è
lim x->0 (ln((e^x)+x))/((sin^2)+x^3)
il risultato di questo limite mi risulta essere infinito.
Non capisco però perché invece
lim x->0 (ln((e^x)-x))/((sin^2)+x^3) sul libro dà come risultato 1/2.

ringrazio in anticipo per le risposte!!

[pilloeffe]

Ciao ton32,

Benvenuto sul forum!

Se ho capito bene il limite proposto è $\lim_{x \to 0} (ln(e^x+x))/(sin^2 x+x^3) $ e non esiste.
Invece si ha:

$ \lim_{x \to 0^{\pm}} (ln(e^x+x))/(sin^2 x+x^3) = \pm \infty $

L'ultimo limite proposto è diverso ed in effetti ti confermo che si ha:

$ \lim_{x \to 0} (ln(e^x-x))/(sin^2 x+x^3) = 1/2 $

[ton32]

Ciao! grazie per la risposta.
Mi potresti spiegare i passaggi che portano al risultato di 1/2?

Perché io per risolverlo raccolgo dentro la parentesi di ln a numeratore e^x così ottengo
ln(e^x(1-1/e^x))
essendo 1/e^x uguale 0 per x->0 mi rimane ln(e^x) che è uguale a x.
A denominatore uso il limite notevole del seno e quindi mi rimane
x^2 + x^3

perciò ottengo il limite
limx→0 x/x^2+x^3
che è lo stesso a cui mi ero ricondotto prima.. non capisco come possa venire 1/2

ti ringrazio

[pilloeffe]

"ton32":Ciao! grazie per la risposta.

Prego.

"ton32":essendo 1/e^x uguale 0 per x->0 [...]

Eh?
Attenzione che $\lim_{x \to 0} 1/e^x = 1 $, non zero: forse stai pensando che $x \to +\infty $, ma qui $x \to 0 $...

"ton32":non capisco come possa venire 1/2

Omettendo la scrittura di infinitesimi di ordine superiore, il modo più semplice mi pare il seguente:

$ \lim_{x \to 0} (ln(e^x-x))/(sin^2 x+x^3) = \lim_{x \to 0} (ln(1 + x^2/2))/(sin^2 x) = \lim_{x \to 0}(x^2/2)/x^2 = 1/2 $

[ton32]

sì pardon mi sono sbagliato a scrivere!!
intendevo $ x/(e^x)=0$ per $x->0$
Scusami ma continuo a non capire perché i risultati dei 2 limiti differiscono..

cioè il limite
$ (ln(e^x+x))/(sin^2x+x^3)$ per $x->0$

lo risolvo come

$ln(e^x(1+x/e^x))/(sin^2x+x^3)=ln(e^x)/x^2=x/x^2=+-infty$ per $x->0$

allo stesso modo risolverei il limite
$ (ln(e^x-x))/(sin^2x+x^3)$ per $x->0$

$ln(e^x(1-x/e^x))/(sin^2x+x^3)=ln(e^x)/x^2=x/x^2=+-infty$ per $x->0$

non capisco perchè non si possa fare così..

in più da $ (ln(e^x-x))/(sin^2x+x^3)$ come passi a

$ (ln(1+(x^2)/2))/x^2$ ??

non mi torna come salti fuori quel $(x^2)/2$ nella parentesi del $ln$

grazie mille ancora

[pilloeffe]

"ton32":non mi torna come salti fuori quel $x^2/2 $ nella parentesi del $ln$

Dallo sviluppo in serie di $e^x$:

$e^x = 1 + x + x^2/2 + O(x^3) \implies e^x - x = 1 + x^2/2 + O(x^3) $

Invece si ha:

$e^x + x = 1 + 2x + O(x^2) $

Pertanto nel primo limite "comanda" il $2x$ e ha lo stesso risultato di $\lim_{x \to 0^{\pm}} 2/x = \pm \infty $

[ton32]

capito!! Grazie mille ancora

[pilloeffe]

"ton32":lo risolvo come [...]

Attenzione che per questo limite lo sviluppo in serie in realtà non sarebbe neanche necessario, ma come l'hai risolto tu non è corretto, infatti si ha:

$ \lim_{x \to 0^{\pm}}ln[e^x(1+x/e^x)]/(sin^2x+x^3) = \lim_{x \to 0^{\pm}}(ln(e^x) + ln(1 + x/e^x))/(sin^2 x(1 + x^2/sin^2x \cdot x)) = \lim_{x \to 0^{\pm}} (x + ln(1 + x/e^x))/(sin^2 x(1 + x^2/sin^2x \cdot x)) = $
$ = \lim_{x \to 0^{\pm}} (e^x + ln(1 + x/e^x)/(x/e^x))/(e^x sin x/x sinx (1 + x^2/sin^2x \cdot x)) = \pm \infty $

Seguendo la stessa strada col secondo limite proposto invece si avrebbe:

$ \lim_{x \to 0^{\pm}} (- e^x + ln(1 - x/e^x)/(- x/e^x))/(- e^x sin x/x sinx (1 + x^2/sin^2x \cdot x)) $

In tal caso passando al limite al numeratore della frazione si otterrebbe $- 1 + 1 = 0$ e dunque rimarrebbe la forma indeterminata del tipo $ 0/0 $, per risolvere la quale è necessario ricorrere allo sviluppo in serie citato nel mio post precedente.