Risoluzione limite di successione?
Ciao,
non riesco a risolvere questo limite:
Lim n-->+inf $ (1- (1-1/n)^3 ) / ( (1+1/n)^2 -1) $
Dovrei risolverlo senza usare De L'Hopital, ho provato ad usare i limiti notevoli ma senza alcun successo, qualcuno potrebbe gentilmente darmi una mano?
Grazie in anticipo
non riesco a risolvere questo limite:
Lim n-->+inf $ (1- (1-1/n)^3 ) / ( (1+1/n)^2 -1) $
Dovrei risolverlo senza usare De L'Hopital, ho provato ad usare i limiti notevoli ma senza alcun successo, qualcuno potrebbe gentilmente darmi una mano?
Grazie in anticipo
Risposte
Prova ad eseguire i calcoli, dovrebbe semplificarsi abbastanza
Un limite notevole a cui sicuramente non hai pensato:
$lim_( n -> +oo ) (( 1 + 1/n)^k - 1)/(1/n) = k$
$lim_( n -> +oo ) (( 1 + 1/n)^k - 1)/(1/n) = k$
E che c'entra de l'Hopital con un limite di successione? Nulla. Attenzione.
Il teorema di de l'Hopital riguarda funzioni reali di variabile reale, non successioni (ovvero, funzioni reali di variabile intera naturale). Certo, si possono usare degli accorgimenti per servirsi di de l'Hopital anche per successioni, ma l'applicazione ingenua del teorema (derivare numeratore e denominatore rispetto alla variabile discreta $n$ (!) ) è errata.
Il teorema di de l'Hopital riguarda funzioni reali di variabile reale, non successioni (ovvero, funzioni reali di variabile intera naturale). Certo, si possono usare degli accorgimenti per servirsi di de l'Hopital anche per successioni, ma l'applicazione ingenua del teorema (derivare numeratore e denominatore rispetto alla variabile discreta $n$ (!) ) è errata.
Grazie per le risposte, scusate per l'errore di De L'Hopital,
ho effettuato alcuni passaggi, ma non so se sono giusti:
...= $- lim_(n->+oo) (-1+(1-1/n)^3)/ (1+1/n^2+2/n-1)= - lim_(n->+oo) (-1+(1-1/n)^3)/ (1/n^2+2/n)= - lim_(n->+oo) (-1+(1-1/n)^3)/ ((1+2n)/n^2) =...$
$(1+2n)/n^2 ~ 2n/n^2 ~ 2/n =2*(1/n)$
per cui
...=$- lim_(n->+oo) (-1+(1-1/n)^3)/ (2*(1/n))=3/2$ secondo voi è corretto?
ho effettuato alcuni passaggi, ma non so se sono giusti:
...= $- lim_(n->+oo) (-1+(1-1/n)^3)/ (1+1/n^2+2/n-1)= - lim_(n->+oo) (-1+(1-1/n)^3)/ (1/n^2+2/n)= - lim_(n->+oo) (-1+(1-1/n)^3)/ ((1+2n)/n^2) =...$
$(1+2n)/n^2 ~ 2n/n^2 ~ 2/n =2*(1/n)$
per cui
...=$- lim_(n->+oo) (-1+(1-1/n)^3)/ (2*(1/n))=3/2$ secondo voi è corretto?
"dissonance":
E che c'entra de l'Hopital con un limite di successione? Nulla. Attenzione.
Il teorema di de l'Hopital riguarda funzioni reali di variabile reale, non successioni (ovvero, funzioni reali di variabile intera naturale). Certo, si possono usare degli accorgimenti per servirsi di de l'Hopital anche per successioni, ma l'applicazione ingenua del teorema (derivare numeratore e denominatore rispetto alla variabile discreta $n$ (!) ) è errata.
Se il limite $\lim_{x\to \infty} a(x)$ esiste e applico De L'Hopital per determinarlo, io concludevo che il limite $\lim_{n\to \infty} a(n)$ era lo stesso, essendo una sua sottosuccessione. Sto trascurando qualcosa?
Paola
"prime_number":
Se il limite $\lim_{x\to \infty} a(x)$ esiste e applico De L'Hopital per determinarlo, io concludevo che il limite $\lim_{n\to \infty} a(n)$ era lo stesso, essendo una sua sottosuccessione.
Una sua restrizione? No, è giusto.
Penso che Dissonance volesse mettere in guardia l'utente sull'uso dissennato del teorema di De L'Hospital. Infatti non ha senso fare la derivata di una successione, come ovviamente saprai.
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