Risoluzione limite con valore assoluto (limiti notevoli)
Ragazzi potete aiutarmi a risolvere il seguente limite coi limiti notevoli?
$lim_(x->1) (ln(2x-x^2))/(|x-x^2|)$
So che, siccome c'è il valore assoluto, bisogna scomporlo nei limiti destro e sinistro e vedere se tendono allo stesso valore per decidere se il limite iniziale esiste o meno... Il problema è che mi blocco subito...
$lim_(x->1+) (ln(2x-x^2))/(x-x^2)$
In quanto non riesco a portarlo in una forma adeguata per applicare un limite notevole....
$lim_(x->1) (ln(2x-x^2))/(|x-x^2|)$
So che, siccome c'è il valore assoluto, bisogna scomporlo nei limiti destro e sinistro e vedere se tendono allo stesso valore per decidere se il limite iniziale esiste o meno... Il problema è che mi blocco subito...
$lim_(x->1+) (ln(2x-x^2))/(x-x^2)$
In quanto non riesco a portarlo in una forma adeguata per applicare un limite notevole....
Risposte
allora prova a vedere se ti torna così:
$\lim_{x \to \1}(ln(2x-x^2-1+1)/|x-x^2+1-1|)$
chiami $t=2x-x^2-1$ e sai che per $x->1$ $t->0$
allora sai che il tuo limite diventa $\lim_{t \to \0}(ln(t+1)/|t+1|)$ e da qui puoi applicare il limite notevole del log facendoti qualche calcoletto algebrico!!
...
(prova a rifarti i conti e dimmi se ti torna)
$\lim_{x \to \1}(ln(2x-x^2-1+1)/|x-x^2+1-1|)$
chiami $t=2x-x^2-1$ e sai che per $x->1$ $t->0$
allora sai che il tuo limite diventa $\lim_{t \to \0}(ln(t+1)/|t+1|)$ e da qui puoi applicare il limite notevole del log facendoti qualche calcoletto algebrico!!
...(prova a rifarti i conti e dimmi se ti torna)
No.. Non mi torna il fatto che a numeratore ci sia 2x, mentre a denominatore solo x... E quindi non riesco a capire come hai fatto a sostituire la t a denominatore xD
hai ragione!!! 
anche perchè se non ci fosse il 2 non sarebbe 0/0!!!
sorry!!!
anche perchè se non ci fosse il 2 non sarebbe 0/0!!!
sorry!!!
(comunque con gli infinitestimi è facile facile...)
però se lo devi risolvere con i limiti notevoli in qualche modo ti devi ricondurre al limite notevole del log ma non capisco come!!
però se lo devi risolvere con i limiti notevoli in qualche modo ti devi ricondurre al limite notevole del log ma non capisco come!!
Ciao. Prova a porre: $z=x-1$, così passi a un limite in cui hai $z rightarrow 0$ e puoi (con qualche passaggio) usare il limite [tex]\lim_{z\rightarrow 0}\frac{\ln(1+z)}{z}=1[/tex].
Ho moltiplicato num e den per (2x-x^2-1)
$lim_(x->1)(ln(2x-x^2)(2x-x^2-1))/((|x-x^2|)(2x-x^2-1))$
per poter usare il limite notevole
$lim_(x->1)(ln(x))/(x-1) =1$
solo che adesso calcolando il limite destro e sinistro
$lim_(x->1+)((2x-x^2-1))/((x-x^2))$
$lim_(x->1-)((2x-x^2-1))/((-x+x^2))$
mi viene che tendono entrambi a 0+... Mentre invece tracciando il grafico con qualsiasi programma si vede che dovrebbero tendere a 0- ... Sbaglio a trarre le conclusioni o c'è qualche errore?
$lim_(x->1)(ln(2x-x^2)(2x-x^2-1))/((|x-x^2|)(2x-x^2-1))$
per poter usare il limite notevole
$lim_(x->1)(ln(x))/(x-1) =1$
solo che adesso calcolando il limite destro e sinistro
$lim_(x->1+)((2x-x^2-1))/((x-x^2))$
$lim_(x->1-)((2x-x^2-1))/((-x+x^2))$
mi viene che tendono entrambi a 0+... Mentre invece tracciando il grafico con qualsiasi programma si vede che dovrebbero tendere a 0- ... Sbaglio a trarre le conclusioni o c'è qualche errore?
"Sergio":
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Morale: quando c'è un limite per \(x\to k\), prendere sempre in considerazione una sostituzione \(z=x-k\) per ricondursi a un limite per \(z\to 0\). Motivo: il limiti notevoli, o comunque ben noti, per \(x\to 0\) abbondano, quelli per \(x\to k\) scarseggiano...
Grande!!! Non ci avevo mai pensato!!! Di solito io vado a sostituire a tentativi x ricondurmi al limite notevole noto!! senza dubbio questo trucchetto di fa risparmiare un sacco tempo e di carta!!!
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