Risoluzione limite con formula di Mc Laurin
Dato il seguente limite:
$\lim_{x \to \0} (xcosx-sinx)/x^2$
(so che è semplice da risolvere con l'Hopital), vorrei sapere, se utilizzando la formula di Mc Laurin, il mio modo di procedere è corretto:
$xcosx-sinx=-1/3*x^3+o(x^3)$
$x^2=x^2+o(x^3)$,
dove ho eliminato tutti i termini per i quali la derivata ennesima in $x_0=0$ viene 0.
Se faccio il seguente limite, posso scrivere:
$\lim_{x \to \0} (xcosx-sinx)/x^2=lim_{x \to \0} (-1/3x^3+o(x^3))/(x^2+o(x^3))=lim_{x \to \0} -1/3*x=0$ ???????
Perché gli o piccolo devono essere dello stesso ordine a numeratore e denominatore?
$\lim_{x \to \0} (xcosx-sinx)/x^2$
(so che è semplice da risolvere con l'Hopital), vorrei sapere, se utilizzando la formula di Mc Laurin, il mio modo di procedere è corretto:
$xcosx-sinx=-1/3*x^3+o(x^3)$
$x^2=x^2+o(x^3)$,
dove ho eliminato tutti i termini per i quali la derivata ennesima in $x_0=0$ viene 0.
Se faccio il seguente limite, posso scrivere:
$\lim_{x \to \0} (xcosx-sinx)/x^2=lim_{x \to \0} (-1/3x^3+o(x^3))/(x^2+o(x^3))=lim_{x \to \0} -1/3*x=0$ ???????
Perché gli o piccolo devono essere dello stesso ordine a numeratore e denominatore?
Risposte
"carezzina":
$x^2=x^2+o(x^3)$
A parte che $x^2=x^2$ e basta... non c'è un resto.
Il risultato, comunque, è giusto.
Grazie Zero87, ma non ho ancora capito perché io posso fare questo:
$lim_{x \to \0} (xcosx-sinx)/x^3=lim_{x \to \0} (-1/3x^3+o(x^3))/(x^3+o(x^3))=-1/3$ ............
Forse perché:
$ lim_{x \to \0} (-1/3x^3)/(x^3+o(x^3))= ((-1/3x^3)/x^3)/((x^3/x^3+(o(x^3))/(x^3)))=-1/3 $ ??
e se ripeto lo stesso discorso per $ (o(x^3))/(x^3+o(x^3))$ viene 0, cioè:
$ lim_{x \to \0} (o(x^3))/(x^3+o(x^3))= ((o(x^3))/x^3)/((x^3/x^3+(o(x^3))/(x^3)))=0 $,
è giusto ciò che ho scritto?
$lim_{x \to \0} (xcosx-sinx)/x^3=lim_{x \to \0} (-1/3x^3+o(x^3))/(x^3+o(x^3))=-1/3$ ............
Forse perché:
$ lim_{x \to \0} (-1/3x^3)/(x^3+o(x^3))= ((-1/3x^3)/x^3)/((x^3/x^3+(o(x^3))/(x^3)))=-1/3 $ ??
e se ripeto lo stesso discorso per $ (o(x^3))/(x^3+o(x^3))$ viene 0, cioè:
$ lim_{x \to \0} (o(x^3))/(x^3+o(x^3))= ((o(x^3))/x^3)/((x^3/x^3+(o(x^3))/(x^3)))=0 $,
è giusto ciò che ho scritto?
"carezzina":
Grazie Zero87, ma non ho ancora capito perché io posso fare questo:
$ lim_{x \to \0} (xcosx-sinx)/x^3=lim_{x \to \0} (-1/3x^3+o(x^3))/(x^3+o(x^3))=-1/3 $
Ma scusami perché $x^3=x^3+o(x^3)$?
Zero87 ti ha già fatto notare che è errato questo...
Comunque:
$lim_(x->0) (xcosx-sinx)/x^3$
$lim_(x->0) (-1/3x^3+o(x^3))/x^3$
A questo punto metti semplicemente in evidenza $x^3$ e tieni a mente che $o(1)=0$:
$lim_(x->0) (x^3(-1/3+o(1)))/x^3=-1/3$
"Obidream":
A questo punto metti semplicemente in evidenza $x^3$ e tieni a mente che $o(1)=0$:
$lim_(x->0) (x^3(-1/3+o(1)))/x^3=-1/3$
M'ha anticipato obidream (che saluto
).Aggiungo solo che $x^3=x^3$ e basta semplicemente perché non ha un resto. Ricordati che l'$o$ piccolo - tecnicamente detto "Resto di Peano nella Formula di Taylor" (o una cosa simile) - vuol dire che oltre alla parte esplicitata, c'è un qualcosa di grado superiore a quello indicato che magari non conosco molto ma che comunque mi serve tenere a mente.
$x^3=x^3$ e basta proprio perché non c'è null'altro. Nel caso di polinomi, in genere, non si usa il resto perché sono già polinomi anche se non è errato (anche se non si trova molto in giro) troncare il polinomio stesso. Per esempio
$x+x^2+x^3=x+x^2+x^3$
anche se non è sbagliato scrivere
$x+x^2+x^3=x+x^2+o(x^2)$,
anche se quest'ultima in questo caso è un po' inutile perché mancherebbe solo il termine $x^3$.
Però in casi può complessi, per esempio
$(1+x)^10$
è più sensato, indicare
$(1+x)^10=1+10x+45x^2+o(x^2)$
sempre ammesso che non ti serva una precisione maggiore!
Il mio problema iniziale nasceva dal fatto che per $xcosx-sinx=-1/3*x^3+o(x^3)$ non potevo arrestarmi al grado 2, in quanto prima sono tutti 0, ma forse è meglio non usare la formula di Taylor in questo caso...anche perché poi non saprei come regolarmi con $(o(x^3))/x^2$...non sono troppo pratica con gli o piccolo, a dire il vero...
La posso utilizzare la regola $x^m*o(x^n)$?
Diventerebbe: $x^(-2)*o(x^3)=o(x^(-2+3))=o(x)$, andrebbe bene? E poi per x che tende a 0...$o(x)->0$...?
La posso utilizzare la regola $x^m*o(x^n)$?
Diventerebbe: $x^(-2)*o(x^3)=o(x^(-2+3))=o(x)$, andrebbe bene? E poi per x che tende a 0...$o(x)->0$...?
"carezzina":
E poi per x che tende a 0...$o(x)->0$...?
Come ho detto poco fa in termini ineleganti anche se efficaci, $o(x)$ è un modo per indicare il resto in quella formula. Terra terra $o(x)$ vuol dire "questo resto è composto da termini (infiniti, pochi, non importa) che in cui la $x$ ha una potenza maggiore di $1$".
Ti faccio un esempio pratico
$e^x=1+x+o(x)$
al primo grado. Ma se vai avanti
$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+o(x^3)$.
Per $x->0$, $o(x)->0$ poiché è composto da una serie di termini $x^n$ con $n>1$ che tendono, ovviamente a zero. Obidream diceva $o(1)->0$, semplicemente perché $o(1)=o(x^0)$ e dunque è composto da termini che hanno $x^n$ con $n>0$ (trattandosi di interi dunque $n \ge 1$).
La mia spiegazione non è molto tecnica e qualcuno potrebbe avere da ridire, ma ho voluto visualizzare la situazione. L'importante è che ricordi che $o(x^n)$ è un resto (il resto di Peano nella fattispecie) e dunque un insieme di termini in cui la $x$ ha una potenza maggiore di $n$ in ognuno di essi.
Segnalo, a tal proposito, la guida scritta da Gugo82 che si trova "in evidenza" nella sezione di Analisi Matematica, si chiama "I simboli di Landau" (o un nome molto simile).
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