Risoluzione limite con de l'Hopital

[ton32]

buonasera a tutti!
qualcuno può risolvere il seguente limite utilizzando de l'Hopital?
dovrebbe risolversi dopo 3 reiterazioni del teorema, ma non capisco dove sbaglio..

il limite è il seguente
$lim (e^(1/ln(10-x^2))-1)/(x-sqrt10)$ per $xtosqrt10$ da sinistra

grazie mille a chi risponderà

[axpgn]

Mostraci quello che fai ...

[ton32]

$f'(e^(1/ln(10-x^2))-1)=(e^(1/ln(10-x^2)))*(2x)/(ln^2(10-x^2)(10-x^2)) $
quindi si ha
$lim (2x*e^(1/ln(10-x^2)))/(ln^2(10-x^2)(10-x^2)$ ancora indecisione

ripeto de Hopital
$f'(2x*e^(1/ln(10-x^2)))=e^(1/ln(10-x^2))*(2+((4x^2)/((10-x^2)*ln^2(10-x^2))))$

$f'(ln^2(10-x^2)(10-x^2))=-2xln(10-x^2)(ln(10-x^2)+2)$

quindi si ha
$lim [e^(1/ln(10-x^2))*(2+((4x^2)/((10-x^2)*ln^2(10-x^2))))]/[-2xln(10-x^2)(ln(10-x^2)+2)]$

fin qui dovrebbe essere giusto se non erro

[ton32]

da qui ripetendo de l'hopital mi si ripresenta ancora un'altra volta una forma di indecisione..

[pilloeffe]

Ciao ton32,

Ma devi per forza risolverlo con de l'Hopital? Io porrei $t := x - \sqrt{10} $ ed userei il limite notevole dell'esponenziale...

[ton32]

ciao! si devo perforza utilizzare de l'Hopital..

[pilloeffe]

"ton32":quindi si ha
$\lim (2x*e^(1/ln(10-x^2)))/(ln^2(10-x^2)(10-x^2) $ ancora indecisione

Scrivi bene:

$\lim_{x \to \sqrt10^-} (2x \cdot e^(1/ln(10-x^2)))/((10-x^2) ln^2(10-x^2)) $

Non si ha una forma di indecisione, infatti per il numeratore si ha:

$\lim_{x \to \sqrt10^-} [2x \cdot e^(1/ln(10-x^2))] = 2\sqrt10 $

Per il denominatore si ha solo apparentemente una forma indeterminata del tipo $ 0 \cdot \infty $, ma in realtà se tieni presente la ben nota disuguaglianza $ln t < t $ per ogni $t > 0 $ si ha:

$\lim_{x \to \sqrt10^-} (10-x^2) ln^2(10-x^2) = 0 $

Dunque il risultato del limite proposto è $+\infty $

[ton32]

Giusto!! Grazie mille