Risoluzione limite
salve, vorrei chiedere aiuto per la risoluzione di questo limite per il fatto che tende a -infinito e non a zero, quindi non posso applicare i limiti notevoli.
$lim_(x-> -infty)$ $x*tan(6/x) $
il risultato dovrebbe essere 6 ma non so proprio cosa fare...
$lim_(x-> -infty)$ $x*tan(6/x) $
il risultato dovrebbe essere 6 ma non so proprio cosa fare...
Risposte
Certo che puoi applicare i limiti notevoli... Guarda bene l'argomento della tangente.
Risolvendolo al volo dovrebbe tornare 6; comunque i limiti notevoli possono essere usati; ricorda che l'argomento della funzione deve tendere al valore (o 0 o infinito) e non l'incognita.
quindi non conta se si parla di $lim_(x->infty)$ oppure $lim_(x->0)$
l'importante in questo caso è che l'argomento $6/x$ sia $infty$ o $0$ io pensavo si dovesse guardare solo a cosa tende la x del limite........
l'importante in questo caso è che l'argomento $6/x$ sia $infty$ o $0$ io pensavo si dovesse guardare solo a cosa tende la x del limite........
è giusto o sbaglio ?
se non ti è chiaro a "guardarlo strano" semplicemente sostituisci $t = 1/x$ e il limite ti diventa:
$lim_{t \to 0} tan(6t)/t$
che fa 6
(i passaggi per la dimostrazione sono:
$lim_{t \to 0} tan(6t)/t * 6/6 = lim_{t \to 0} tan(6t)/(6t) * 6 = 1$(limite notevole)$ * 6 = 6$
$lim_{t \to 0} tan(6t)/t$
che fa 6
(i passaggi per la dimostrazione sono:
$lim_{t \to 0} tan(6t)/t * 6/6 = lim_{t \to 0} tan(6t)/(6t) * 6 = 1$(limite notevole)$ * 6 = 6$
si ma il problema è che si tratta di $lim_x->infty$ e non a $0$ posso applicare lo stesso la sostituzione e i limiti notevoli?
quando applichi la sostituzione $t = 1/x$ devi anche cambiare la variabile del limite, che diventa t. Per vedere a quanto tende t devi pensare "a quanto tende t quando x tende a infinito?" e la risposta è "t tende a 0".
Ed ecco che adesso avrai un limite per x tendente a 0.
Se la tua domanda è: "eh ma non vale, questo è barare" la mia risposta sarà: "no, esistono delle proprietà dei logaritmi ed una di esse spiega bene come funziona questa cosa che è perfettamente lecito fare".
Ti è più chiaro?
EDIT: OVVIAMENTE se in un altro caso ti dovesse RIMANERE $x->\infty$ (cosa che non succede nel nostro caso perchè diventa $t->0$ !) allora NON puoi applicare i limiti notevoli che sono notevoli quando $x->0$ (ovviamente).
Ad esempio
$lim_{x \to 0} sinx/x = 1$
ma
$lim_{x \to \infty} sinx/x = 0$
è sempre notevole (perchè lo si sa a memoria) però è diverso nei due casi.
Ed ecco che adesso avrai un limite per x tendente a 0.
Se la tua domanda è: "eh ma non vale, questo è barare" la mia risposta sarà: "no, esistono delle proprietà dei logaritmi ed una di esse spiega bene come funziona questa cosa che è perfettamente lecito fare".
Ti è più chiaro?
EDIT: OVVIAMENTE se in un altro caso ti dovesse RIMANERE $x->\infty$ (cosa che non succede nel nostro caso perchè diventa $t->0$ !) allora NON puoi applicare i limiti notevoli che sono notevoli quando $x->0$ (ovviamente).
Ad esempio
$lim_{x \to 0} sinx/x = 1$
ma
$lim_{x \to \infty} sinx/x = 0$
è sempre notevole (perchè lo si sa a memoria) però è diverso nei due casi.
grazie davvero 
adesso ho capito tutto XD grazie ancora , potrei approfittare per farti un'altra domanda sulla risoluzione di un limite ?
adesso ho capito tutto XD grazie ancora , potrei approfittare per farti un'altra domanda sulla risoluzione di un limite ?
Domanda...
GRazie, allora...in questo caso ho il $lim_x->(0)$ $((sqrt(4+x)-2)/x)$ posso ricondurmi al limite notevole $((1+x)^(alpha)-1)/x$$=alpha$
quindi cambio la radice quadrata in elevamento a potenza : $lim_x->(0)$ $((4+x)^(1/2)-2)/x$
il problema sono però il $4$ e il $2$ .....con il due avrei pensato di aggiungere e sottrarre $1$ e $-1$
quindi avrei $lim_x->(0)$ $((4+x)^(1/2)-2+1-1)/x$ ma non so se è lecito fare questa cosa....poi però per il 4 non so come fare .......
quindi cambio la radice quadrata in elevamento a potenza : $lim_x->(0)$ $((4+x)^(1/2)-2)/x$
il problema sono però il $4$ e il $2$ .....con il due avrei pensato di aggiungere e sottrarre $1$ e $-1$
quindi avrei $lim_x->(0)$ $((4+x)^(1/2)-2+1-1)/x$ ma non so se è lecito fare questa cosa....poi però per il 4 non so come fare .......
Prova a raccogliere $2$ a numeratore...
senza quella cosa che ho fatto io sul $+1-1$ ?
Sì, senza.
ma da dentro la parentesi tonda come faccio a raccogliere il due ? se faccio cosi mi si cambia anche la $x$
$(2*(2+X/2)^(1/2)+1)/x$ cosi dici ?
$(2*(2+X/2)^(1/2)+1)/x$ cosi dici ?
e poi cosi non andrebbe bene perchè dovrebbe esserci $1+x$ e non $2+x/2$ non riesco a venirne fuori...
Raccogliendo due, a numeratore verrebbe $2 * (( 1 + x/4 )^(1/2) - 1)$ .. E ci sei quasi...
ah forse ho capito, hai raccolto due volte cosi ?
$(4+x)^(1/2)-2$ $->$ $2*(2+x/2)^(1/2)-2$ e hai raccolto ancora una volta il 2? $->$ $2*((2+x/2)^(1/2)-1)$ ...scusami davvero se non capisco..ma sembra strano che raccogliendo viene come hai scritto....
$(4+x)^(1/2)-2$ $->$ $2*(2+x/2)^(1/2)-2$ e hai raccolto ancora una volta il 2? $->$ $2*((2+x/2)^(1/2)-1)$ ...scusami davvero se non capisco..ma sembra strano che raccogliendo viene come hai scritto....
no, assolutamente è sbagliato quello che hai scritto...
per raccogliere da dentro una radice DEVI prima "Estrarre" dalla radice i passaggi corretti sono questi:
$sqrt(4+x)-2 = sqrt[4(1+x/4)]-2 = 2sqrt(1+x/4) - 2 $ qui si usa l'estrarre dalla radice;
$2(sqrt(1+x/4) - 1)$ e qui ho raccolto il due.
Adesso è banale.
per raccogliere da dentro una radice DEVI prima "Estrarre" dalla radice i passaggi corretti sono questi:
$sqrt(4+x)-2 = sqrt[4(1+x/4)]-2 = 2sqrt(1+x/4) - 2 $ qui si usa l'estrarre dalla radice;
$2(sqrt(1+x/4) - 1)$ e qui ho raccolto il due.
Adesso è banale.
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