Risoluzione Limite
Salve a tutti dovrei risolvere con questo limite, ho provato cambiamento di variabile, Taylor, Werner ma alla fine non risolvo niente...
$lim_(x -> -1/2) (tan^2(x+1/2))/(cos(pix)sin(8pix))$
Grazie
$lim_(x -> -1/2) (tan^2(x+1/2))/(cos(pix)sin(8pix))$
Grazie
Risposte
Io userei le seguenti trasformazioni:
[tex]$\cos{(\pi x)}=\sin{(\frac{\pi}{2}+\pi x)}$[/tex]
[tex]$\sin{(8\pi x)}=\sin{(8\pi x+4\pi)}$[/tex]
(Cerca di capire perché proprio queste)
Riconduciti poi a limiti notevoli:
[tex]$\lim_{y\to0} \frac{\tan{y}}{y}=1$[/tex]
[tex]$\lim_{y\to0} \frac{\sin{y}}{y}=1$[/tex].
Suggerimento: [tex]$y=x+\frac{1}{2}$[/tex]
[tex]$\cos{(\pi x)}=\sin{(\frac{\pi}{2}+\pi x)}$[/tex]
[tex]$\sin{(8\pi x)}=\sin{(8\pi x+4\pi)}$[/tex]
(Cerca di capire perché proprio queste)
Riconduciti poi a limiti notevoli:
[tex]$\lim_{y\to0} \frac{\tan{y}}{y}=1$[/tex]
[tex]$\lim_{y\to0} \frac{\sin{y}}{y}=1$[/tex].
Suggerimento: [tex]$y=x+\frac{1}{2}$[/tex]
Grazie della dritta stasera riprovo a farlo.
Quelle formule delle trasformazioni le hai prese da qualche parte o le hai fatte cosi ad occhio vedendo sulla circonferenza goniometrica?
Spero di capire perchè mi hai indirizzato verso quelle
Quelle formule delle trasformazioni le hai prese da qualche parte o le hai fatte cosi ad occhio vedendo sulla circonferenza goniometrica?
Spero di capire perchè mi hai indirizzato verso quelle
In realtà, mi sono espresso male: non sono trasformazioni. Ho detto "trasformazioni" perché intendevo che poi avresti trasformato il limite, ma dal punto di vista trigonometrico sono identità. 
Comunque, aldilà di questo, la prima deriva dalle relazioni fra angoli complementari. La seconda dalla periodicità: [tex]$\sin(\alpha)=\sin(\alpha+2k\pi) \quad \forall k \in \mathbb{Z}$[/tex].
Comunque, aldilà di questo, la prima deriva dalle relazioni fra angoli complementari. La seconda dalla periodicità: [tex]$\sin(\alpha)=\sin(\alpha+2k\pi) \quad \forall k \in \mathbb{Z}$[/tex].
L'ho risolto e mi viene $1/(8pi^2)$ Giusto vero?
All'inizio anche io avevo fatto quella sostituzione solo che poi sotto non avevo visto che il denominatore poteva essere riscritto cosi e ho scritto cose non utili. Non mi sarebbe mai venuto in mente di trasformare il denominatore cosi.
Ci sono ragionamenti logici attraverso cui sarei potuto arrivare a trasformare il denominatore cosi oppure è questione di esercizio?
Dove posso andarmele a vedere tutte le relazioni tra angoli complementari? C'è una tabella o qualcosa di simile?
Grazie mille per l'aiuto
P.s. Ho trovato queste:
sin(90-a)=cos a
Perchè in questa formula c'è il meno e in quella che abbiamo usato noi c'è il +? Dipende dal fatto che nel nostro limite x tende a -1/2?
All'inizio anche io avevo fatto quella sostituzione solo che poi sotto non avevo visto che il denominatore poteva essere riscritto cosi e ho scritto cose non utili. Non mi sarebbe mai venuto in mente di trasformare il denominatore cosi.
Ci sono ragionamenti logici attraverso cui sarei potuto arrivare a trasformare il denominatore cosi oppure è questione di esercizio?
Dove posso andarmele a vedere tutte le relazioni tra angoli complementari? C'è una tabella o qualcosa di simile?
Grazie mille per l'aiuto
P.s. Ho trovato queste:
sin(90-a)=cos a
Perchè in questa formula c'è il meno e in quella che abbiamo usato noi c'è il +? Dipende dal fatto che nel nostro limite x tende a -1/2?
Ehm, i calcoli non li ho finiti Non hai il risultato?
Comunque, sì, è questione di esercizio. A me è venuto in mente di fare così, ma a te poteva venire in mente qualcos'altro. Non è che mi sia venuto istantaneamente di fare così, ma provando ho visto che usando qualche identità si semplificavano le cose. Allora, a quel punto bastava farsi venire le cose che servivano usando le giuste identità
Per quanto riguarda gli angoli complementari, ti basta sapere quella che hai scritto per ricavarti tutte le altre, utilizzando gli angoli associati (infatti gli altri in realtà sono angoli associati di un complementare a un dato angolo; con l'esempio giù ti si chiarirà ciò di cui sto blaterando). Prova a vedere in un libro di matematica del liceo: sicuramente ci sono sia angoli associati che complementari. Per guardare semplicemente una tabella di riferimento (che è utile se non hai mai usato queste relazioni) puoi trovarla anche su wikipedia, suppongo.
Esempio: [tex]$\sin{(\pi-\alpha)}=\sin{\alpha}$[/tex] (poiché sono angoli associati; basta ragionare sulla circonferenza goniometrica)
Utilizzando la relazione che hai scritto tu fra i due angoli complementari e ponendo [tex]$\alpha=\frac{\pi}{2}-\beta$[/tex], ottieni [tex]$\cos{\beta}=\sin{\bigg(\frac{\pi}{2}-\beta \bigg)}=\sin{\bigg(\pi-\bigg(\frac{\pi}{2}-\beta\bigg)\bigg)}=\sin{\bigg(\frac{\pi}{2}+\beta\bigg)}$[/tex]
Penso che quello che ho scritto sia sufficiente a risponderti, però voglio puntualizzare che ovviamente non c'entra niente il fatto che la variabile tenda a quel valore. Poi, io ho deciso di usare quella forma perché mi è più comoda per risolvere il limite (e te ne sarai accorto risolvendolo), dato che mi ero accorto che mi si sarebbe semplificato [tex]$x+\frac{1}{2}$[/tex].
Non hai il risultato?Comunque, sì, è questione di esercizio. A me è venuto in mente di fare così, ma a te poteva venire in mente qualcos'altro. Non è che mi sia venuto istantaneamente di fare così, ma provando ho visto che usando qualche identità si semplificavano le cose. Allora, a quel punto bastava farsi venire le cose che servivano usando le giuste identità
Per quanto riguarda gli angoli complementari, ti basta sapere quella che hai scritto per ricavarti tutte le altre, utilizzando gli angoli associati (infatti gli altri in realtà sono angoli associati di un complementare a un dato angolo; con l'esempio giù ti si chiarirà ciò di cui sto blaterando
). Prova a vedere in un libro di matematica del liceo: sicuramente ci sono sia angoli associati che complementari. Per guardare semplicemente una tabella di riferimento (che è utile se non hai mai usato queste relazioni) puoi trovarla anche su wikipedia, suppongo.Esempio: [tex]$\sin{(\pi-\alpha)}=\sin{\alpha}$[/tex] (poiché sono angoli associati; basta ragionare sulla circonferenza goniometrica)
Utilizzando la relazione che hai scritto tu fra i due angoli complementari e ponendo [tex]$\alpha=\frac{\pi}{2}-\beta$[/tex], ottieni [tex]$\cos{\beta}=\sin{\bigg(\frac{\pi}{2}-\beta \bigg)}=\sin{\bigg(\pi-\bigg(\frac{\pi}{2}-\beta\bigg)\bigg)}=\sin{\bigg(\frac{\pi}{2}+\beta\bigg)}$[/tex]
Perchè in questa formula c'è il meno e in quella che abbiamo usato noi c'è il +? Dipende dal fatto che nel nostro limite x tende a -1/2?
Penso che quello che ho scritto sia sufficiente a risponderti, però voglio puntualizzare che ovviamente non c'entra niente il fatto che la variabile tenda a quel valore. Poi, io ho deciso di usare quella forma perché mi è più comoda per risolvere il limite (e te ne sarai accorto risolvendolo), dato che mi ero accorto che mi si sarebbe semplificato [tex]$x+\frac{1}{2}$[/tex].
Grazie mille ancora Spiegazione molto esauriente!!! Grazie Davvero
Spiegazione molto esauriente!!! Grazie Davvero
Di niente 
$lim_(x -> 1/2) ((cos(pix)*sin(6pix))/(tan^2(x-1/2)))$
Il risultato di quest'altro limite mi viene $-6pi^2$ ho usato che $sin(6pix)=sin(6pix+3pi)$ per applicare la sostituzione...
E' vero che $sin(6pix)=sin(6pix+3pi)$? E' giusto il risultato?
grazie
Il risultato di quest'altro limite mi viene $-6pi^2$ ho usato che $sin(6pix)=sin(6pix+3pi)$ per applicare la sostituzione...
E' vero che $sin(6pix)=sin(6pix+3pi)$? E' giusto il risultato?
grazie
Dovrebbe venire $6pi^2$.
[tex]$\sin(6\pi x)= -\sin(6\pi +3\pi)$[/tex] 
Se scrivi [tex]$3\pi=2\pi+\pi$[/tex], ottieni prima l'angolo associato [tex]$\pi+6\pi x$[/tex] e poi ci aggiungi la periodicità che non ti cambia niente. (Nota che sarebbe stato vero invece nel caso della tangente, perché tale funzione ha periodo [tex]$\pi$[/tex], non [tex]$2\pi$[/tex])
Se scrivi [tex]$3\pi=2\pi+\pi$[/tex], ottieni prima l'angolo associato [tex]$\pi+6\pi x$[/tex] e poi ci aggiungi la periodicità che non ti cambia niente. (Nota che sarebbe stato vero invece nel caso della tangente, perché tale funzione ha periodo [tex]$\pi$[/tex], non [tex]$2\pi$[/tex])
Scusami ma è vero che $sin(6πx)=sin(6πx-3π)$ o no? cioè il seno è una funzione periodica di 2$pi$ però sostituendo i valori a caso è verificato che $sin(6πx)=sin(6πx-3π)$
Grazie
Grazie
Ho capito.
Lo sbaglio stupido che ho fatto è pensare che $sin(6πx)=sin(6πx-3π)$
ma in realtà si ha $sin(6πx)=sin(6πx+3pi)=sin(6pix+pi)=sin(pi-6pix-pi)=sin(-6pix)=sin(-6pix)$
ora nel mio caso faccio $(sin-6pix)=sin(-6pix+3pi)=sin(-6pi(x-1/2))=sin(-6piy)$
dove y è la sostituzione che mi serve e quindi alla fine avrò $6pi^2$ come risultato finale
E' cosi vero Antimius?
Lo sbaglio stupido che ho fatto è pensare che $sin(6πx)=sin(6πx-3π)$
ma in realtà si ha $sin(6πx)=sin(6πx+3pi)=sin(6pix+pi)=sin(pi-6pix-pi)=sin(-6pix)=sin(-6pix)$
ora nel mio caso faccio $(sin-6pix)=sin(-6pix+3pi)=sin(-6pi(x-1/2))=sin(-6piy)$
dove y è la sostituzione che mi serve e quindi alla fine avrò $6pi^2$ come risultato finale
E' cosi vero Antimius?
Non ho fatto i calcoli, però, sì, quella sostituzione ti è utile a risolvere. A giudicare dal risultato che aveva postato Seneca, comunque, dovrebbe essere giusto ora, perché avevi solo sbagliato il segno in quell'identità
Grazie ancora a entrambi 
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