Risoluzione Limite 2
Salve a tutti, ho questo limite
$lim_(x -> pi/3) (2sin^2(6x))/(1+cos(3x))$
Sostituendo pigreco/3 viene al numeratore 0 e al denominatore 1-1=0 quindi 0/0
1) Applicando Hopital viene $(24sin(6x)cos(6x))/(-3sin(3x)) $
2) Applicando Taylor sinx=x in questo caso sin6x=6x e sin3x=3x e poi sostituendo $pi/3$ al coseno, mi viene alla fine -16
Secondo voi è giusto? C'erano metodi con sostituzioni o altri metodi per risolverlo? Grazie
$lim_(x -> pi/3) (2sin^2(6x))/(1+cos(3x))$
Sostituendo pigreco/3 viene al numeratore 0 e al denominatore 1-1=0 quindi 0/0
1) Applicando Hopital viene $(24sin(6x)cos(6x))/(-3sin(3x)) $
2) Applicando Taylor sinx=x in questo caso sin6x=6x e sin3x=3x e poi sostituendo $pi/3$ al coseno, mi viene alla fine -16
Secondo voi è giusto? C'erano metodi con sostituzioni o altri metodi per risolverlo? Grazie
Risposte
Riscrivilo un po' meglio quel limite.
scusate avevo dimenticato il simbolo del dollaro, ora cosi va bene?
No che non va bene applicare Taylor così! Quella "sostituzione la puoi fare se $x\to 0$. Prima ancora di applicare de l'Hopital, prova a fare il cambio di variabile $x=\pi/3-t$ e vedere come si riscrivono le funzioni presenti nel limite.
Quindi l'argomento della funzione deve tendere a 0 per applicare Taylor, non tutta la funzione deve tendere a 0...
sin(6x) per x che tende a pigreco/3 corrisponde a sin(360)=0 però non posso applicare Taylor perchè l'argomento della funzione sin è 360 non 0...E' questo che mi stai dicendo, giusto?
La strada della sostituzione l'avevo intrapresa ma non l'avevo proseguita...ora ci provo...intanto grazie
sin(6x) per x che tende a pigreco/3 corrisponde a sin(360)=0 però non posso applicare Taylor perchè l'argomento della funzione sin è 360 non 0...E' questo che mi stai dicendo, giusto?
La strada della sostituzione l'avevo intrapresa ma non l'avevo proseguita...ora ci provo...intanto grazie
[size=117]Scarface_90 dopo l'applicazione di de L'Hopital usa la formula di duplicazione per $sen(6x)$ in maniera da poter semplificare con il denominatore.
Ciao[/size]
Ciao[/size]
"scarface_90":
Quindi l'argomento della funzione deve tendere a 0 per applicare Taylor, non tutta la funzione deve tendere a 0...
sin(6x) per x che tende a pigreco/3 corrisponde a sin(360)=0 però non posso applicare Taylor perchè l'argomento della funzione sin è 360 non 0...E' questo che mi stai dicendo, giusto?
La strada della sostituzione l'avevo intrapresa ma non l'avevo proseguita...ora ci provo...intanto grazie
Gotcha... oppure: Bingo! Hai detto bene: per usare McLaurin (perché quello che usi è Taylor centrato in $x=0$) devi avere che $x\to 0$: anzi, come hai specificato meglio tu, devi avere che per sviluppare la funzione $f(a(x))$ per $x\to x_0$ deve essere $\lim_{x\to x_0} a(x)=0$.
Risolvo come suggerisce Ciampax e mi viene $-24/9$ Esatto?
Facendo Hopital e la formula di duplicazione del seno mi viene -16.
A meno di errori di calcolo che non vedo, ciò mi turba.
Facendo Hopital e la formula di duplicazione del seno mi viene -16.
A meno di errori di calcolo che non vedo, ciò mi turba.
Se poni [tex]$x=t-\frac{\pi}{3}$[/tex] allora
[tex]$\sin(6x)=\sin(6t-2\pi)=\sin(6t),\qquad \cos(3x)=\cos(3t-\pi)=-\cos(3t)$[/tex]
per cui si ha
[tex]$\lim_{t\to 0}\frac{2\sin^2(6t)}{1-\cos(3t)}=\lim_{t\to 0}\frac{2\cdot 36t^2}{1-1+9t^2/2}=16$[/tex]
[tex]$\sin(6x)=\sin(6t-2\pi)=\sin(6t),\qquad \cos(3x)=\cos(3t-\pi)=-\cos(3t)$[/tex]
per cui si ha
[tex]$\lim_{t\to 0}\frac{2\sin^2(6t)}{1-\cos(3t)}=\lim_{t\to 0}\frac{2\cdot 36t^2}{1-1+9t^2/2}=16$[/tex]
Grazie avevo fatto un errore di calcolo... 
Grazie Davvero 
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