Risoluzione limite
Qualcuno mi spiega perché questo limite fa così (calcolato con wolfram)?
$ lim_{x->0}((cos(x)-sin(x))^6-cosh(2sqrt(6)x)+6x)/x^3=-4 $
Io ho fatto così, la parte tra parentesi elevata alla sesta posso metterla già uguale a 1 per i teoremi sui limiti; poi sviluppo il coseno iporbolico arrivando a
$cosh(sqrt(6)2x)=-1-12x^2 +o(x^4)$
Quindi la funzione iniziale è asintoticamente equivalente a
$(-12x^2+6x)/x^3$
Raccolgo la x che è l'infinitesimo di ordine inferiore e diverge, quindi è diverso da -4
Qualcuno mi aiuta?
$ lim_{x->0}((cos(x)-sin(x))^6-cosh(2sqrt(6)x)+6x)/x^3=-4 $
Io ho fatto così, la parte tra parentesi elevata alla sesta posso metterla già uguale a 1 per i teoremi sui limiti; poi sviluppo il coseno iporbolico arrivando a
$cosh(sqrt(6)2x)=-1-12x^2 +o(x^4)$
Quindi la funzione iniziale è asintoticamente equivalente a
$(-12x^2+6x)/x^3$
Raccolgo la x che è l'infinitesimo di ordine inferiore e diverge, quindi è diverso da -4
Qualcuno mi aiuta?
Risposte
"Weierstress":
Questo ce lo deve dire ThisMan... non l'ho visto tanto convinto
Scusatemi, ma non mi sono convinto della cosa
In primo luogo non comprendo il come mai quelle relazioni siano giuste, infatti si arriva all'identità
$lim_{x->0}f(x)=lim_{x->0}1-cosh(2sqrt(6)x)+6x/(x^3)$
che abbiamo appurato sia errata
L'unica idea che mi è venuta in mente è che nel secondo passaggio il limite al denominatore fa zero e nel teorema del rapporto dei limiti viene posto come ipotesi che il limite al denominatore sia diverso da zero. Non potendo quindi staccare numeratore e denominatore non potrei fare il limite della parte dentro la parentesi e quindi quella serie di uguaglianze è fallata. Può essere questo? Di sicuro quella serie di uguaglienze è errata!
Comunque credo mi manchi un passaggio importante riguardo agli infinitesimi, in primo luogo cooper ha ricondotto allo sviluppo notevole di $(1+g(x))^\alfa$ con $g(x)->0$, quindi dentro la parentesi il coseno l'ha sciolto (anche se credo lui abbia sviluppato al primo ordine il coseno e posto g(x)=sin(x)+o(x^3), giusto?), cosa impedisce di fare lo stesso con il seno (se la serie di uguaglianze precedentemente detta è fallata è ovvio il perché non posso scioglierlo risolvendolo semplicemente, ma solo con taylor, però mhe, non so)?
Oltretutto fino ad ora ho pensato che si sviluppasse fino ad ordini superiori al primo in determinati casi perché resta un o-piccolo che non si sa come sbarazzarsene, ma a quanto pare non è così; per esempio in questo limite
$lim_{x->0} (cos(x)-e^x+x)/x $
Potrei sviluppare al primo ordine il coseno e l'esponenziale e rimanere con un o(x), ossia
$ (im_{x->0}1-1+o(x)+x)/x $
che si vede subito che tende a 1, però se sviluppo ancora il risultato è diverso.
Fino ad ora me la sono cavata fino allo sviluppo in cui riuscivo a liberarmi degli o-piccolo in gioco, ma a quanto pare non è questo il criterio (per quanto mi sembri logico comunque) ed ho solo avuto fortuna a quanto pare, quindi, fino a quanto devo sviluppare?
Scusate i quesiti che per voi possono sembrare banali
"ThisMan":
non comprendo il come mai quelle relazioni siano giuste
Che relazioni?
"ThisMan":
Di sicuro quella serie di uguaglienze è errata!
Non è errata. Puoi sempre spezzare le frazioni così come hai fatto e sommare i limiti così. È che di fondo c’è sempre la storia degli infinitesimi.
"ThisMan":
Comunque credo mi manchi un passaggio importante riguardo agli infinitesimi, in primo luogo cooper ha ricondotto allo sviluppo notevole di (1+g(x))alfa con g(x)→0, quindi dentro la parentesi il coseno l'ha sciolto (anche se credo lui abbia sviluppato al primo ordine il coseno e posto g(x)=sin(x)+o(x^3), giusto?), cosa impedisce di fare lo stesso con il seno (se la serie di uguaglianze precedentemente detta è fallata è ovvio il perché non posso scioglierlo risolvendolo semplicemente, ma solo con taylor, però mhe, non so)?
Dentro la parentesi sviluppo il coseno ed il seno anche loro fino al terzo ordine, infatti:
$cos x = 1-1/2x^2 +o(x^2)$ qui la potenza 3 non esiste perché pari quindi mi fermo qui
$sin x =x -1/6x^3 +o(x^3)$
sottrai ed ottieni la scrittura di prima.
se fosse come dici tu il termine quadratico non avrebbe ragione d'esistere.
"ThisMan":
Oltretutto fino ad ora ho pensato che si sviluppasse fino ad ordini superiori al primo in determinati casi perché resta un o-piccolo che non si sa come sbarazzarsene, ma a quanto pare non è così;
esatto è questo il punto! anche in questo esercizio succede la stessa cosa. non sai come sbarazzarti dell'infinitesimo dovuto alla prima parentesi perchè non lo conosci!
inoltre...
"ThisMan":
per esempio in questo limite
limx→0cos(x)−ex+xx
Potrei sviluppare al primo ordine il coseno e l'esponenziale e rimanere con un o(x), ossia
imx→01−1+o(x)+xx
che si vede subito che tende a 1, però se sviluppo ancora il risultato è diverso.
ed è corretto sviluppare ancora! se metti $1-1 +o(1)$ non sai come questa cosa va a zero. sai solo che lo fa ma questo non ti basta.
Sicuro che quel limite vada a 1? 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+as+x+approaches+0+(cos(x)-e%5Ex%2Bx)%2Fx
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+as+x+approaches+0+(cos(x)-e%5Ex%2Bx)%2Fx
Oltre a quello che ha scritto cooper, c'è questa cosa che non va: hai scritto al numeratore $1-1+o(x)+x$, cosa ben falsa perché hai trascurato la $x$ nello sviluppo dell'esponenziale. Avresti dovuto mettere a quel punto $o(1)$... chiaramente insufficiente per il calcolo del limite.
Ripeto, nel dubbio abbonda: per chiarire questo concetto eccoti uno sviluppo esagerato ma ultimamente corretto di quest'ultimo limite:
$cosx-e^x+x=1-x^2/2+x^4/(4!)-1-x-x^2/2-x^3/(3!)-x^4/(4!)+x+o(x^4)=$
$=-x^2-x^3/(3!)+o(x^3)=-x^2+o(x^2)$
Come vedi se alla fine ti rimane qualche termine di ordine superiore lo puoi trascurare senza problemi, il risultato rimane
$(-x^2+o(x^2))/xrarr0$
Siccome è più facile sbagliare qualcosa sviluppando di più (non escludo di essermi perso qualcosa io stesso) bisogna puntare a beccare il minimo insindacabile, cosa che però richiede un po' di occhio... in generale, una rule of thumb può essere che se sviluppando fino a un certo ordine si annulla tutto, non si è sviluppato a sufficienza.
Ripeto, nel dubbio abbonda: per chiarire questo concetto eccoti uno sviluppo esagerato ma ultimamente corretto di quest'ultimo limite:
$cosx-e^x+x=1-x^2/2+x^4/(4!)-1-x-x^2/2-x^3/(3!)-x^4/(4!)+x+o(x^4)=$
$=-x^2-x^3/(3!)+o(x^3)=-x^2+o(x^2)$
Come vedi se alla fine ti rimane qualche termine di ordine superiore lo puoi trascurare senza problemi, il risultato rimane
$(-x^2+o(x^2))/xrarr0$
Siccome è più facile sbagliare qualcosa sviluppando di più (non escludo di essermi perso qualcosa io stesso) bisogna puntare a beccare il minimo insindacabile, cosa che però richiede un po' di occhio... in generale, una rule of thumb può essere che se sviluppando fino a un certo ordine si annulla tutto, non si è sviluppato a sufficienza.
"cooper":
[quote="ThisMan"]non comprendo il come mai quelle relazioni siano giuste
Che relazioni?
"ThisMan":
Di sicuro quella serie di uguaglienze è errata!
Non è errata. Puoi sempre spezzare le frazioni così come hai fatto e sommare i limiti così. È che di fondo c’è sempre la storia degli infinitesimi.
"ThisMan":
Comunque credo mi manchi un passaggio importante riguardo agli infinitesimi, in primo luogo cooper ha ricondotto allo sviluppo notevole di (1+g(x))alfa con g(x)→0, quindi dentro la parentesi il coseno l'ha sciolto (anche se credo lui abbia sviluppato al primo ordine il coseno e posto g(x)=sin(x)+o(x^3), giusto?), cosa impedisce di fare lo stesso con il seno (se la serie di uguaglianze precedentemente detta è fallata è ovvio il perché non posso scioglierlo risolvendolo semplicemente, ma solo con taylor, però mhe, non so)?
Dentro la parentesi sviluppo il coseno ed il seno anche loro fino al terzo ordine, infatti:
$cos x = 1-1/2x^2 +o(x^2)$ qui la potenza 3 non esiste perché pari quindi mi fermo qui
$sin x =x -1/6x^3 +o(x^3)$
sottrai ed ottieni la scrittura di prima.
se fosse come dici tu il termine quadratico non avrebbe ragione d'esistere.
"ThisMan":
Oltretutto fino ad ora ho pensato che si sviluppasse fino ad ordini superiori al primo in determinati casi perché resta un o-piccolo che non si sa come sbarazzarsene, ma a quanto pare non è così;
esatto è questo il punto! anche in questo esercizio succede la stessa cosa. non sai come sbarazzarti dell'infinitesimo dovuto alla prima parentesi perchè non lo conosci!
inoltre...
"ThisMan":
per esempio in questo limite
limx→0cos(x)−ex+xx
Potrei sviluppare al primo ordine il coseno e l'esponenziale e rimanere con un o(x), ossia
imx→01−1+o(x)+xx
che si vede subito che tende a 1, però se sviluppo ancora il risultato è diverso.
ed è corretto sviluppare ancora! se metti $1-1 +o(1)$ non sai come questa cosa va a zero. sai solo che lo fa ma questo non ti basta.[/quote]
Per l'ultimo limite, be', mi sento un cretino, non so neanche più leggere una tavola, sarà il caldo
Comunque per la questione dello sviluppo del seno e del coseno, dopo averli sviluppati al terzo ordine hai usato lo sviluppo notevole $(1+g(x))^\a$ ? Che roba calcolosa, dopo provo a fare tutti i conti per bene, grazie mille comunque!
L'ultimo punto che mi resta è quella serie di uguaglianze che non mi tornano, perché se funziona tutto si arriva ad una evidente contraddizione
Inoltre non comprendo come in quelle relazioni c'entrino gli infinitesimi, dopotutto non ho sviluppato nulla fino a quel momento, quindi non compaio o-piccoli, al massimo compaiono se considero la parte elevata alla sesta, ed il conseguente $1$ che esce, come lo sviluppo al primo ordine del seno e del coseno, ma non è quello che ho fatto!
Ho usato questi teoremi invece:
Se $ f(x)->L $ e $ g(x)->M $ allora $f(x)+g(x)->L+M$, $f(x)g(x)->LM$ e se $M \ne 0$ $f(x)/g(x)->L/M$
Ma nella prima uguaglianza
$ lim_{x->0} ((cos(x)-sin(x))^6-cosh(2sqrt(6)x)+6x)/x^3= (lim_{x->0} (cos(x)-sin(x))^6-cosh(2sqrt(6)x)+6x)/lim_{x->0}x^3 $
Infrango l'ipotesi in cui $M \ne 0$!
Grazie mille ancora, siete da fare santi comunque
EDIT: Weierstress hai ragionissima, ho sbagliato a leggere la tavola di McLaurin, quindi ho considerato l'o-piccolo un infinitesimo più grande di quello che era effettivamente!
"ThisMan":
Comunque per la questione dello sviluppo del seno e del coseno, dopo averli sviluppati al terzo ordine hai usato lo sviluppo notevole (1+g(x))a ? Che roba calcolosa, dopo provo a fare tutti i conti per bene, grazie mille comunque!
esatto! è proprio per i calcoli un po' pesanti che l'ho definito "cattivello" all'inizio.
"ThisMan":
Ma nella prima uguaglianza
limx→0(cos(x)−sin(x))6−cosh(26–√x)+6xx3=limx→0(cos(x)−sin(x))6−cosh(26–√x)+6xlimx→0x3
Infrango l'ipotesi in cui M≠0!
ah ok! pensavo ti riferissi ancora alla prima catena. si non puoi fare il rapporto dei limiti perchè il limite del denominatore è nullo.
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