Risoluzione limite
Qualcuno mi spiega perché questo limite fa così (calcolato con wolfram)?
$ lim_{x->0}((cos(x)-sin(x))^6-cosh(2sqrt(6)x)+6x)/x^3=-4 $
Io ho fatto così, la parte tra parentesi elevata alla sesta posso metterla già uguale a 1 per i teoremi sui limiti; poi sviluppo il coseno iporbolico arrivando a
$cosh(sqrt(6)2x)=-1-12x^2 +o(x^4)$
Quindi la funzione iniziale è asintoticamente equivalente a
$(-12x^2+6x)/x^3$
Raccolgo la x che è l'infinitesimo di ordine inferiore e diverge, quindi è diverso da -4
Qualcuno mi aiuta?
$ lim_{x->0}((cos(x)-sin(x))^6-cosh(2sqrt(6)x)+6x)/x^3=-4 $
Io ho fatto così, la parte tra parentesi elevata alla sesta posso metterla già uguale a 1 per i teoremi sui limiti; poi sviluppo il coseno iporbolico arrivando a
$cosh(sqrt(6)2x)=-1-12x^2 +o(x^4)$
Quindi la funzione iniziale è asintoticamente equivalente a
$(-12x^2+6x)/x^3$
Raccolgo la x che è l'infinitesimo di ordine inferiore e diverge, quindi è diverso da -4
Qualcuno mi aiuta?
Risposte
Avendo un cubo al denominatore conviene sviluppare fino al terzo ordine...
P.S. Per caso questo limite viene da un (molto) recente tema d'esame?
P.S.S. $cosh(2sqrt(6)x)$ o $cosh(sqrt(6)(2x))$?
P.S. Per caso questo limite viene da un (molto) recente tema d'esame?
P.S.S. $cosh(2sqrt(6)x)$ o $cosh(sqrt(6)(2x))$?
Ma se sviluppo ancora alla fine $6x$ risulta essere sempre l'infinitesimo di ordine inferiore...
Oltretutto gli o-piccolo sono gestiti bene, quindi il risultato non so perché si incasina...
Comunque sto prendendo qua e là testi di esami, non ti saprei dire se è recente
Oltretutto gli o-piccolo sono gestiti bene, quindi il risultato non so perché si incasina...
Comunque sto prendendo qua e là testi di esami, non ti saprei dire se è recente
In teoria no, dovrebbe cancellarsi...
"Weierstress":
In teoria no, dovrebbe cancellarsi...
Quindi, riparto dall'inizio, intanto chiamo il testo dell'esercizio $f(x)$, ora con gli sviluppi di cui sopra ottengo
$ f(x)=(-12x^2-o(x^4)+6x)/x^3 $
Raccolgo la $x$ e semplifico
$ f(x)=(-12x-(o(x^4))/x+6)/x^2 $
Sappiamo che
$ |(o(x^4))|/|x^4|<\epsilon $
per un certo intorno di $0$, quindi
$ |(o(x^4))||<\epsilon|x^4| $
che per un intorno di raggio minore di 1 vale la seguente relazione
$ |(o(x^4))||<\epsilon|x^4| < \epsilon|x| $
Quindi il limite
$ lim_{x->0}(-12x-(o(x^4))/x+6)/x^2 = lim_{x->0}(-12x+6)/x^2$
il limite al numeratore fa $6$, quindi posso riscrivere il tutto come
$lim_{x->0} 6/x^2$ e diverge
Non riesco a capire proprio dove stia sbagliando
alquanto "cattivello" questo esercizio! devi fare come ti ha suggerito Weierstress e sviluppare tutti i termini che possono essere sviluppati fino al terzo ordine. in particolare $(1-1/2x^2-x+1/6x^3)^6$ e il coseno iperbolico (il tuo sviluppo è già corretto). se fai con calma tutti questi passaggi, ignorando i termini di ordine superiore a 3 vedrai che il risultato esce!
"ThisMan":
con gli sviluppi di cui sopra
Qua sbagli! Devi sviluppare tutto fino al terzo ordine!
"Weierstress":
[quote="ThisMan"]con gli sviluppi di cui sopra
Qua sbagli! Devi sviluppare tutto fino al terzo ordine!
[/quote]Intanto grazie mille per la pazienza!
Il punto è che non comprendo perché sviluppare ancora, dopotutto quell'o-piccolo riesco a farlo sparire
Bene, provo a sviluppare ancora
$ f(x)=(-12x^2-x^4-o(x^6)+6x)/x^3 $
Raccolgo e semplifico ed ottengo
$ f(x)=(-12x-x^3-(o(x^6))/x+6)/x^2 $
Ora il numeratore tende a $6$, quindi
$lim_{x->0} f(x)=lim_{x->0}6/x^2$
ti stai fossilizzando sullo sviluppo del coseno iperbolico. quello è corretto fino al $-12x^2$, oltre non avrebbe senso andare. il problema è che non sviluppi il pezzo che ti ho indicato già nel post precedente. tu poni il primo pezzo ad 1, sbagliando. in quella parentesi ci sono dei pezzi che non puoi tralasciare perchè vanno a cancellare altri termini, in particolare il tuo coseno iperbolico ed anche il $6x$. è da quella parentesi che si introduce anche il termine cubico che è poi l'unico che sopravvive.
Se ti arrendi:
"Weierstress":
Se ti arrendi:
Hai usato direttamente la formula per lo sviluppo? Comunque non comprendo come mai sia necessario sviluppare anche la parte elevata alla sesta. Per dire
$ lim_{x->0}((cos(x)-sin(x))^6-cosh(2sqrt(6)x)+6x)/x^3= (lim_{x->0}(cos(x)-sin(x))^6-cosh(2sqrt(6)x)+6x)/(lim_{x->0}x^3)=
( lim_{x->0}(cos(x)-sin(x))^6-lim_{x->0}cosh(2sqrt(6)x)+6x)/(lim_{x->0}x^3)=(lim_{x->0} 1-cosh(2sqrt(6)x)+6x)/(lim_{x->0}x^3)=lim_{x->0} (1-cosh(2sqrt(6)x)+6x)/x^3$
In tutte queste uguaglianze non incappo mai in forme indeterminate, quindi per i teoremi dei limiti dovrebbero essere lecite, ma a quanto pare non lo sono, ma non comprendo il perché
Comunque grazie mille per l'aiuto!
sviluppando il coseno ed il seno nella parentesi ottieni uno sviluppo notevole: $(1+epsilon_n)^(alpha)$ con $epsilon_n -> 0$. questo vuol dire che i termini compresi nell'infinitesimo non sai se sono trascurabili (non conoscendoli esattamente) e quindi diventano fondamentali perchè potresti trovarti ad avere delle cancellazioni con le quali rimarresti con il solo infinitesimo e quindi non sapresti come quel pezzo va a zero. per accorgerti che va sviluppato e che $1^6$ non basta lo capisci perchè si cancella con il $-1$ del coseno iperbolico. a questo punto rimani quindi con degli infinitesimi che tu interpreti come $0$ ma che non sai quale tipo di zero sono e questo non è trascurabile. come fare a capire come vanno a zero? devi sviluppare quel pezzo elevato alla sesta.
"cooper":
sviluppando il coseno ed il seno nella parentesi ottieni uno sviluppo notevole: $(1+epsilon_n)^(alpha)$ con $epsilon_n -> 0$. questo vuol dire che i termini compresi nell'infinitesimo non sai se sono trascurabili (non conoscendoli esattamente) e quindi diventano fondamentali perchè potresti trovarti ad avere delle cancellazioni con le quali rimarresti con il solo infinitesimo e quindi non sapresti come quel pezzo va a zero. per accorgerti che va sviluppato e che $1^6$ non basta lo capisci perchè si cancella con il $-1$ del coseno iperbolico. a questo punto rimani quindi con degli infinitesimi che tu interpreti come $0$ ma che non sai quale tipo di zero sono e questo non è trascurabile. come fare a capire come vanno a zero? devi sviluppare quel pezzo elevato alla sesta.
Per il discorso degli infinitesimi ci sono, è la motivazione per cui si sviluppa oltre il primo ordine, il punto però è che ha senso quando sviluppo, ma io avendo usato semplicemente i teoremi dei limiti (ma evidentemente ho sbagliato qualcosa), in effetti non ho effettuato lo sviluppo. In quella catena di disuguaglianze che ho scritto cosa avrei sbagliato?
Poi, per il fatto dell'1 che si cancella con il -1 del coseno iperbolico, be', non è per questo che ho sviluppato oltre il primo ordine il coseno iperbolico?
"ThisMan":
motivazione per cui si sviluppa oltre il primo ordine
ce lo suggerisce il denominatore e perchè se sviluppi ad ordini inferiori continui ad avere cancellazioni esatte che non ti fanno concludere nulla.
"ThisMan":
In quella catena di disuguaglianze che ho scritto cosa avrei sbagliato?
ciò che hai sbagliato è per l'appunto considerare 1 la prima parentesi e non svilupparla.
"ThisMan":
Poi, per il fatto dell'1 che si cancella con il -1 del coseno iperbolico, be', non è per questo che ho sviluppato oltre il primo ordine il coseno iperbolico?
certo, però perchè il coseno lo sviluppi e l'altro no? che ragione hai di preferire uno sviluppo all'altro? perchè allora non sviluppi la parentesi e lasci il coseno iperbolico ad 1?
devi sviluppare tutto quello che puoi sviluppare fino allo stesso ordine.
"cooper":
[quote="ThisMan"]motivazione per cui si sviluppa oltre il primo ordine
ce lo suggerisce il denominatore e perchè se sviluppi ad ordini inferiori continui ad avere cancellazioni esatte che non ti fanno concludere nulla.
"ThisMan":
In quella catena di disuguaglianze che ho scritto cosa avrei sbagliato?
ciò che hai sbagliato è per l'appunto considerare 1 la prima parentesi e non svilupparla.
"ThisMan":
Poi, per il fatto dell'1 che si cancella con il -1 del coseno iperbolico, be', non è per questo che ho sviluppato oltre il primo ordine il coseno iperbolico?
certo, però perchè il coseno lo sviluppi e l'altro no? che ragione hai di preferire uno sviluppo all'altro? perchè allora non sviluppi la parentesi e lasci il coseno iperbolico ad 1?
devi sviluppare tutto quello che puoi sviluppare fino allo stesso ordine.[/quote]
Il punto è che là ho usato i teoremi dei limiti, ed evidentemente devo aver sbagliato ad usare questi teoremi, devo averli interpretati male. No?
Per aver preferito il coseno, be', per questioni di semplicità di calcolo, dopotutto se supponiamo per assurdo che quelle uguaglianze sopra siano veritiere (ma perché non lo sono? È quello il centro del mio dubbio) allora lo sviluppare l'uno o l'altro è totalmente irrilevante
Scusa la pedanteria, potrei prendere la questione come una regoletta e basta, sviluppa tutto il possibile e via, però non mi convince un approccio del genere
Grazie mille ancora
"cooper":
certo, però perchè il coseno lo sviluppi e l'altro no? che ragione hai di preferire uno sviluppo all'altro? perchè allora non sviluppi la parentesi e lasci il coseno iperbolico ad 1?
devi sviluppare tutto quello che puoi sviluppare fino allo stesso ordine.
Questo è il succo del discorso. Non hai motivo di preferire uno sviluppo all'altro.
In soldoni devi sviluppare fino al medesimo ordine, altrimenti rischi errori dovuti alla scarsa precisione dell'approssimazione; in questo caso poiché hai un cubo al denominatore conviene sviluppare al terzo ordine, e questo vale per ogni funzione che sviluppi.
Nel dubbio, è meglio eccedere, rassegnandosi a calcoli più complicati ma certamente corretti, piuttosto che tralasciare qualcosa e incorrere sicuramente in un errore.
Ad ogni modo per sviluppare ho usato la formula
$(1+epsilon)^alpha=1+alphaepsilon+((alpha),(2))(epsilon)^2+o(epsilon^2)$
Edit: ignora sopra, e includi il terzo ordine, mi raccomando...
"ThisMan":
Il punto è che là ho usato i teoremi dei limiti, ed evidentemente devo aver sbagliato ad usare questi teoremi, devo averli interpretati male. No?
No, i teoremi sono applicati in modo corretto, quello che sbagli è a monte. Sviluppare significa approssimare; se l'approssimazione non è abbastanza fine, sia che saltino fuori forme indeterminate sia che non succeda, si incappa comunque in errore.
non posso che associarmi. di per sè le uguaglianze che hai scritto non sono sbagliate ma hai fatto un errore concettuale di fondo che inficia il calcolo successivo: perdi informazioni importanti se non consideri gli infinitesimi che vanno considerati.
@Weierstress
io svilupperei fino al terzo ordine: $ (1+epsilon)^alpha=1+alphaepsilon+((alpha),(2))(epsilon)^2+((alpha),(3))(epsilon)^3+o(epsilon^3) $
se infatti abbiamo che $epsilon = -1/2x^2-x+1/6x^3$ (al netto degli o-piccolo) il termine cubico è importante perchè c'è il termine di primo grado.
@Weierstress
io svilupperei fino al terzo ordine: $ (1+epsilon)^alpha=1+alphaepsilon+((alpha),(2))(epsilon)^2+((alpha),(3))(epsilon)^3+o(epsilon^3) $
se infatti abbiamo che $epsilon = -1/2x^2-x+1/6x^3$ (al netto degli o-piccolo) il termine cubico è importante perchè c'è il termine di primo grado.
Cooper, hai proprio ragione. Ho fatto correttamente prima, e nel riportare la formula mi sono fermato al secondo ordine.
E poi voglio insegnare agli altri la precisione negli sviluppi!
E poi voglio insegnare agli altri la precisione negli sviluppi!
si bhe se anche la formula era sbagliata penso ormai si fosse capito che andasse sviluppato fino al terzo ordine.
Questo ce lo deve dire ThisMan... non l'ho visto tanto convinto
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