Risoluzione limite...

[inv3rse]

Ciao a tutti, ho un dubbio su un limite:

$ lim_(x -> -oo ) (sqrt(x^2-1)/(x+2)) = -1 $

Ciò che non riesco a capire è come mai viene -1?

Io ho provato a risolverlo così:

$ lim_(x -> -oo ) ((xsqrt(1-1/x^2))/(x(1+2/x))) $

Le x si semplificano e rimane:

$ lim_(x -> -oo ) ((sqrt(1-1/x^2))/((1+2/x))) $

Ora: $ lim_(x -> -oo ) (sqrt(1-1/x^2)) = 1 $

e $ lim_(x -> -oo ) (1+2/x) = 1 $

Quindi mi viene $ 1/1 = 1 $

Dove sbaglio?... Grazie mille a tutti...

[Brancaleone1]

"inv3rse":
Io ho provato a risolverlo così:

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \left ( \frac{\color{red}{x} \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x \left (1+\frac{2}{x} \right )} \right ) \)

[...]

Quindi mi viene $ 1/1 = 1 $

Hai sbagliato quando hai portato fuori la $x$ al numeratore: infatti tutto il numeratore è sotto radice quadrata, quindi la sua immagine deve essere positiva - in particolare tende a $1$ per $x->-oo$. Con il tuo passaggio invece il numeratore tende a un numero negativo (che è impossibile), e quindi avresti dovuto aggiungere il modulo, cioè:

$ lim_(x -> -oo ) (sqrt(x^2-1)/(x+2))= (|x|sqrt(1-1/x^2))/(x(1+2/x))=...=-1$

Una via più semplice (e più rapida) è quella di impiegare la gerarchia degli infiniti:

$ lim_(x -> -oo ) (sqrt(x^2-1)/(x+2))$ \(\displaystyle \sim \) $sqrt(x^2)/x=|x|/x=-1$