Risoluzione limite .

[Kashaman]

Salve, ragazzi , vi scrivo per porvi in esame un esercizio .

Ho da calcolare il seguente limite :
$lim_{x->0^+} (x sin^2x - 25x^5)/ log(cos(x*\sqrtx))$

L'ho svolto al seguente modo :
$lim_{x->0^+} (x sin^2x - 25x^5)/ log(cos(x*\sqrtx)) = lim_{x->0^+} (x sin^2x - 25x^5)/ log(1+(cos(x*\sqrtx)-1) )= $
$lim_{x->0^+} (x sin^2x - 25x^5)/ ((log(1+cos(x*\sqrtx)-1))/(cos(x*\sqrtx)-1))* (1/(cos(x*\sqrtx)-1)) =$
$ = - lim_{x->0^+} (x sin^2x - 25x^5)/ (1-cos(x*\sqrtx))$
Noto ora che il denominatore è un infinitesimo di ordine 3. Pertanto,

$ = - lim_{x->0^+} (((x sin^2x - 25x^5)/x^3)*x^3)/ (((1-cos(x*\sqrtx))/x^3)*x^3) = ...= -1/(1/2) = -2$

E' corretto oppure notate corbellerie evidenti? Grazie mille

[lordb]

Ciao, mi sembra tutto corretto, ti dico come avrei fatto giunto qui:

$ - lim_{x->0^+} (x sin^2x - 25x^5)/ (1-cos(x*\sqrtx))$

Denominatore:

$1-cos(x*sqrt(x))sim_(x->0^+)(x*sqrt(x))^2/2=x^3/2$

Numeratore:

$x sin^2x = x*[x+o(x)]^2=x*[x^2+o(x^2)]=x^3+o(x^3) => x^3+o(x^3) -25x^5 = x^3+o(x^3) $

Dunque:

$-(x sin^2x - 25x^5)/ (1-cos(x*\sqrtx))=- [x^3+o(x^3)]/[x^3/2] sim_(x->0^+)-x^3/x^3*2=-2$

[Kashaman]

grazie mille!

[lordb]

Di niente