Risoluzione integrali doppi
Salve a tutti.
Mi trovo davanti a molti problemi quando vado a risolvere un integrale doppio, quindi vorrei che qualcuno mi spiegasse il filo logico (in generale) con cui devo cercare di risolverli. Scrivo di qui di seguito i miei dubbi principali.
1)Capisco le differenze dell'integrazione secondo Riemann e l'integrazione secondo Lebesgue, ma quando vado a risolvere un esercizio in quali casi devo tener conto di questa differenza? (cioè: quali casi mi portano a due risultati differenti se opero nei due diversi modi ?)
2)Il teorema di Tonelli mi permette di dire se la funzione ha integrale finito, il teorema di Fubini mi permette di effettuare il calcolo esplicito dell'integrale, sbaglio ?
Una volta controllata la sommabilità della funzione, posso scambiare l'ordine di integrazione (cioè posso prima integrare in x e poi in y e viceversa) e il valore dell'integrale non cambia?
Se ad esempio ho un dominio normale rispetto all'asse x del tipo $ E={(x,y)inRR^2:x in I,alpha(x)<=y<=beta(x)} $ allora la formula di riduzione dà $ int_(E) f(x,y) dx dy=int_(x=a)^(x=b)( int_(y=alpha(x))^(y=beta(x)) f(x,y) dy )dx $ ; se la funzione è sommabile anche integrando prima in x e poi in y l'integrale torna ugualmente ? Il fatto di accorgersi che un dominio è normale rispetto ad un asse semplifica solo le cose?
Scusate ma ho parecchia confusione in testa su questi argomenti e sarò grato a chiunque cerchi di delucidarmi riguardo ai miei dubbi.
Grazie.
Mi trovo davanti a molti problemi quando vado a risolvere un integrale doppio, quindi vorrei che qualcuno mi spiegasse il filo logico (in generale) con cui devo cercare di risolverli. Scrivo di qui di seguito i miei dubbi principali.
1)Capisco le differenze dell'integrazione secondo Riemann e l'integrazione secondo Lebesgue, ma quando vado a risolvere un esercizio in quali casi devo tener conto di questa differenza? (cioè: quali casi mi portano a due risultati differenti se opero nei due diversi modi ?)
2)Il teorema di Tonelli mi permette di dire se la funzione ha integrale finito, il teorema di Fubini mi permette di effettuare il calcolo esplicito dell'integrale, sbaglio ?
Una volta controllata la sommabilità della funzione, posso scambiare l'ordine di integrazione (cioè posso prima integrare in x e poi in y e viceversa) e il valore dell'integrale non cambia?
Se ad esempio ho un dominio normale rispetto all'asse x del tipo $ E={(x,y)inRR^2:x in I,alpha(x)<=y<=beta(x)} $ allora la formula di riduzione dà $ int_(E) f(x,y) dx dy=int_(x=a)^(x=b)( int_(y=alpha(x))^(y=beta(x)) f(x,y) dy )dx $ ; se la funzione è sommabile anche integrando prima in x e poi in y l'integrale torna ugualmente ? Il fatto di accorgersi che un dominio è normale rispetto ad un asse semplifica solo le cose?
Scusate ma ho parecchia confusione in testa su questi argomenti e sarò grato a chiunque cerchi di delucidarmi riguardo ai miei dubbi.
Grazie.
Risposte
1) All'atto pratico non c'è nessuna differenza.
2) Si a tutte le domande.
2) Si a tutte le domande.
Grazie.
Scusa per la banalità, intendevi
2) no, no non cambia, si oppure si , si cambia, si ??
Posso chiederti te come operi generalmente quando devi risolvere un integrale doppio (se hai tipo una scaletta in testa di cosa fare) ?
Grazie ancora.
Scusa per la banalità, intendevi
2) no, no non cambia, si oppure si , si cambia, si ??
Posso chiederti te come operi generalmente quando devi risolvere un integrale doppio (se hai tipo una scaletta in testa di cosa fare) ?
Grazie ancora.
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