Risoluzione integrali definiti

[alessandro9001]

Più o meno so come risolvere gli integrali indefiniti, ma ho un po' di problemi con quelli definiti. Non capisco manco la spiegazione del libro. Potreste aiutarmi a capire gli integrali definiti e a risolvere questi?
1) $ int_(1)^(e)xlnxdx $

2) $ int_(0)^(1)xe^(2x)dx $

3) $ int_(-1)^(0)1/(5x+6)dx $

Proviamo

2) $ int_(-1)^(0)1/(5x+6)dx = 1/5 int_(-1)^(0)5/(5x+6)dx = 1/5 log |5x+6| +c $

Ok, MA POI?!?

[ciampax]

Con l'integrazione indefinita puoi calcolare una primitiva, cioè $F(x)=\int f(x)\ dx$. Per il Teorema di Torricelli allora
$$\int_a^b f(x)\ dx=F(b)-F(a)$$
Nient'altro.

[alessandro9001]

Grazie, finalmente ci sono arrivato.
Ma dopo questo passaggio, devo fare altro?

Io ho un GRANDE dubbio. Quando mi trovo davanti a un integrale definito FRATTO, cosa devo fare? Devo verificare se è continuo o non continuo? Se non è continuo, devo considerarlo un integrale generalizzato/improprio?
Non so, il libro è poco chiaro.
Mi è venuto questo dubbio quando ho cominciato a studiare gli integrali impropri.
Grazie

[ciampax]

Posta un esempio.

[alessandro9001]

$ int_(-1)^(3)1/(x-2)dx $

oppure


$ int_(-1)^(0)1/(5x+6)dx $

[ciampax]

Allora, come puoi bene vedere, ad esempio considerando il primo, c'è una differenza nel calcolare l'integrale sull'intervallo $[3,5]$ e sull'intervallo $[-1,3]$ da te scritto, che sta nel dominio della funzione. Con l'intervallo scritto da me hai un integrale definito, con l'altro un integrale improprio. Ovviamente, dovresti in generale vedere se,quando calcoli l'integrale definito, non ci siano problemi di dominio ma, in linea di massima, nella traccia dell'esercizio ti viene detto.
Ora, sai come affrontare un integrale improprio, invece?

[alessandro9001]

Non so se ho capito bene. Quindi prima di risolvere un integrale devo vedere se posso risolverlo normalmente? Ad esempio, nell'integrale $ int_(-1)^(3)1/(x-2)dx $ la x dovrebbe essere diverso da 2. Dato che il mio integrale sta nel l'intervallo [-1,3] e il dominio é compreso, vuol dire che devo trasformarlo in un integrale improprio? In che modo scusa?

Per il secondo caso invece posso risolverlo normalmente perché -6/5 non sta nell'intervallo [-1,0]?


GRAZIE MILLE (mi stai salvando da un disastro annunciato)

[ciampax]

Nel primo caso devi spezzare l'integrale nella somma
$$\int_{-1}^2\frac{1}{x-2}\ dx+\int_{2}^3\frac{1}{x-2}\ dx$$
e poi provare a risolvere usando la definizione di convergenza di integrale improprio (la conosci?)
Nell'altro, ovviamente, puoi andare tranquillo e risolvere direttamente.