Risoluzione integrale triplo
Devo risolvere:
$ int int int_(V)^() 3x^2+3y^2+3z^2dx dy dz $
sapendo che $ 0<=z<=1 $, $ x^2+y^2<=z^2 $.
Solo che non so impostare l'integrale. So solo che dovrò integrare rispetto a z alla fine, quindi:
$ int_(0)^(1) dzint int_(S)^() 3x^2+3y^2+3z^2dx dy $
E riesco a trovare gli estremi tra cui varia x, dato che $ x^2<=z^2-y^2 rArr -sqrt(z^2-y^2)<= x<=sqrt(z^2-y^2) $.
$ int int int_(V)^() 3x^2+3y^2+3z^2dx dy dz $
sapendo che $ 0<=z<=1 $, $ x^2+y^2<=z^2 $.
Solo che non so impostare l'integrale. So solo che dovrò integrare rispetto a z alla fine, quindi:
$ int_(0)^(1) dzint int_(S)^() 3x^2+3y^2+3z^2dx dy $
E riesco a trovare gli estremi tra cui varia x, dato che $ x^2<=z^2-y^2 rArr -sqrt(z^2-y^2)<= x<=sqrt(z^2-y^2) $.
Risposte
Ciao maxira,
Dato che $ C := {(x,y,z) \in \RR^3 : 0 <= z <= 1, x^2 + y^2 <= z^2} $ è un cono di altezza $1 $ avente vertice $ V -= O(0,0,0) $, passerei alle coordinate cilindriche dopo aver raccolto il $3 $.
Dato che $ C := {(x,y,z) \in \RR^3 : 0 <= z <= 1, x^2 + y^2 <= z^2} $ è un cono di altezza $1 $ avente vertice $ V -= O(0,0,0) $, passerei alle coordinate cilindriche dopo aver raccolto il $3 $.
Ottengo:
$ 3int int int_(v)^() (rho^2sin^2theta cos^2phi +rho^2sin^2thetasin^2phi+rho^2cos^2phi) rho^2 sin^2phi dp dtheta dphi $
con $ 0<=rho<=1 $ , $ 0<=theta<=2pi $ $ -pi/2<=phi<=pi/2 $ .
$ 3int int int_(v)^() (rho^2sin^2theta cos^2phi +rho^2sin^2thetasin^2phi+rho^2cos^2phi) rho^2 sin^2phi dp dtheta dphi $
con $ 0<=rho<=1 $ , $ 0<=theta<=2pi $ $ -pi/2<=phi<=pi/2 $ .
Ma no, quelle che hai usato non sono coordinate cilindriche, che sono le seguenti:
$\{(x = \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta),(z = z):}$
ove nel caso in esame $0 <= \rho <= z $, $0 <= \theta < 2\pi $ e $0 <= z <= 1 $.
$\{(x = \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta),(z = z):}$
ove nel caso in esame $0 <= \rho <= z $, $0 <= \theta < 2\pi $ e $0 <= z <= 1 $.
Come capisco quando usare l'una o l'altra?
Di solito se c'è il termine z penso subito alle sferiche.
Di solito se c'è il termine z penso subito alle sferiche.
Bella domanda... Beh, non c'è una regola generale. Diciamo che tipicamente quando si ha a che fare con coni e cilindri conviene passare alle coordinate cilindriche. Nel caso in esame poi tali coordinate erano ulteriormente suggerite dal fatto che era già presente una bella limitazione "pulita" per $z $, cioè $ 0 <= z <= 1 $, quindi certamente non conveniva perdere questa semplicità trasformando la coordinata $z $ in qualcos'altro... 
Okay, grazie.
Puoi correggere il mio svolgimento?
$ 3 int_(0)^(1) dz int int_()^() (rho^2 + z^2) rho drho d theta $
$ 3 int_(0)^(1) dz( int_(0)^(1) rho^3 drho int_(0)^(2pi) d theta + z^2 int_(0)^(1) rho drho int_(0)^(2pi) d theta ) $
$ 3 int_(0)^(1) dz( 1/4 2pi+ z^2 1/2 2pi) $
$ (3pi)/2 int_(0)^(1) dz + 3pi int_(0)^(1) z^2 dz = 5/2pi $
Puoi correggere il mio svolgimento?
$ 3 int_(0)^(1) dz int int_()^() (rho^2 + z^2) rho drho d theta $
$ 3 int_(0)^(1) dz( int_(0)^(1) rho^3 drho int_(0)^(2pi) d theta + z^2 int_(0)^(1) rho drho int_(0)^(2pi) d theta ) $
$ 3 int_(0)^(1) dz( 1/4 2pi+ z^2 1/2 2pi) $
$ (3pi)/2 int_(0)^(1) dz + 3pi int_(0)^(1) z^2 dz = 5/2pi $
No, salvo errori mi risulta $ (9\pi)/10 $:
$ 3 \int_(0)^(1) \text{d}z int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^(z) (\rho^2 + z^2) \rho \text{d}\rho = 6\pi \int_(0)^(1) [\int_0^(z) (\rho^2 + z^2) \rho \text{d}\rho] \text{d}z = 6\pi \int_(0)^(1) [\int_0^(z) \rho^3 \text{d}\rho + z^2 \int_0^(z) \rho\text{d}\rho] \text{d}z = $
$ = 6\pi \int_(0)^(1) {[\rho^4/4]_0^z + z^2 [\rho^2/2]_0^z} \text{d}z = 6\pi \int_(0)^(1) [z^4/4 + z^4/2] \text{d}z = 6\pi \int_(0)^(1) (3z^4)/4 \text{d}z = (9\pi)/2 \int_(0)^(1) z^4 \text{d}z = $
$ = (9\pi)/2 [z^5/5]_0^1 = (9\pi)/10 $
$ 3 \int_(0)^(1) \text{d}z int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^(z) (\rho^2 + z^2) \rho \text{d}\rho = 6\pi \int_(0)^(1) [\int_0^(z) (\rho^2 + z^2) \rho \text{d}\rho] \text{d}z = 6\pi \int_(0)^(1) [\int_0^(z) \rho^3 \text{d}\rho + z^2 \int_0^(z) \rho\text{d}\rho] \text{d}z = $
$ = 6\pi \int_(0)^(1) {[\rho^4/4]_0^z + z^2 [\rho^2/2]_0^z} \text{d}z = 6\pi \int_(0)^(1) [z^4/4 + z^4/2] \text{d}z = 6\pi \int_(0)^(1) (3z^4)/4 \text{d}z = (9\pi)/2 \int_(0)^(1) z^4 \text{d}z = $
$ = (9\pi)/2 [z^5/5]_0^1 = (9\pi)/10 $
Mi trovo adesso. Non avevo notato che $rho$ variasse tra 0 e z.
Se invece volessi impostare il seguente integrale doppio:
$ int int_(D)^() |y|/(x^2+y^2)^2dx dy $
con $ D={1<=x^2+y^2<=4x, |y|<=sqrt3 x} $
andrebbe bene questa impostazione?
Passando in coordinate polari:
$ 1<=rho<=sqrt3 costheta $
$ -pi/6<=theta<=pi/6 $
$ int int_()^()|rho sintheta|/(rho^3) drho d theta $
Se invece volessi impostare il seguente integrale doppio:
$ int int_(D)^() |y|/(x^2+y^2)^2dx dy $
con $ D={1<=x^2+y^2<=4x, |y|<=sqrt3 x} $
andrebbe bene questa impostazione?
Passando in coordinate polari:
$ 1<=rho<=sqrt3 costheta $
$ -pi/6<=theta<=pi/6 $
$ int int_()^()|rho sintheta|/(rho^3) drho d theta $
"maxira":
Se invece volessi impostare il seguente integrale doppio:
$ \int \int_D |y|/(x^2+y^2)^2 \text{d}x \text{d}y $
con $D={1<=x^2+y^2 <= 4x, |y|<= sqrt{3} x} $
andrebbe bene questa impostazione?
No. In tal caso, prima di fare qualsiasi altra operazione, osserverei che $D $ è simmetrico rispetto all'asse $x$ e la funzione integranda $f(x,y) = |y|/(x^2+y^2)^2 $ è pari:
$ f(-x, y) = f(x, -y) = f(-x, -y) = f(x, y) $
Per cui si ha:
$ \int \int_D |y|/(x^2+y^2)^2 \text{d}x \text{d}y = 2 \int \int_{D^+} y/(x^2+y^2)^2 \text{d}x \text{d}y $
con $ D^+ = {1<=x^2+y^2 <= 4x, x >= 0, 0 <= y <= sqrt{3} x} $
Adesso mi trovo:
$ 1<=rho<=4cos theta $
$ pi/6<=theta<=pi/2 $
$ 1<=rho<=4cos theta $
$ pi/6<=theta<=pi/2 $
"maxira":
Adesso mi trovo:
Direi proprio di no...
In particolare considerando $D^+ $ quella per $\theta $ mi risulta $0 <= \theta <= \pi/3 $
Prova a farti un disegno del dominio che ti si chiariranno molte cose...
Non riesco a farlo.
$ x^2+y^2>=1 $ è l'insieme dei punti esterni ad una circonferenza centrata dell'origine di raggio 1, e comprende il suo bordo.
Ma $ x^2+y^2<=4x $?
$ x^2+y^2>=1 $ è l'insieme dei punti esterni ad una circonferenza centrata dell'origine di raggio 1, e comprende il suo bordo.
Ma $ x^2+y^2<=4x $?
Si tratta di un'altra circonferenza, completando il quadrato hai $x^2+y^2 \leq 4x \Leftrightarrow x^2+y^2-4x \leq 0 \Leftrightarrow x^2-4x+4-4+y^2 \leq 0 \Leftrightarrow (x-2)^2+y^2 \leq 4$.
Mentre $ |y|<=sqrt3x $ significa $ y<=sqrt3x $ quando $ y>=0 $, mentre $ y>=-sqrt3x $ per $ y<0 $.
Quindi il dominio sarebbe questo?
Quindi il dominio sarebbe questo?
Esatto, anche se il disegno non è molto preciso... Come vedi è simmetrico rispetto all'asse $x$, per cui essendo $f(x, y) $ una funzione pari puoi fare il discorso con $D^+ $ che ti ho accennato in un mio post precedente.
Quindi dev'essere $ 0<=tan theta <= pi/3 $ , $ 1<=rho<=4cos theta $?
"maxira":
Quindi dev'essere $0 <= tan\theta <= \pi/3 $ [...]
Perché? Il coefficiente angolare $m $ della retta è pari a $sqrt{3} $, il che significa che $m = tan\theta = sqrt{3} $ e quindi, come ti ho già scritto in un mio post precedente, si ha $0 <= \theta <= \pi/3 $
Sì, scusami, è stato solo un typo.
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