Risoluzione integrale triplo
Salve a tutti, sto avendo alcuni problemi con questo integrale triplo, vi prego di illuminarmi sulla sua risoluzione.
<< Calcolare l'integrale triplo
$\int int int_V z * dx dy dz$
dove V è l'insieme interno al tetraedro limitato dai piani $x=0$, $y=0$, $z=0$, $x+y+z=3-\sqrt(3)$
ed esterno alla sfera di centro $(1,1,1)$ e raggio $1$ >>
Grazie mille!!!
<< Calcolare l'integrale triplo
$\int int int_V z * dx dy dz$
dove V è l'insieme interno al tetraedro limitato dai piani $x=0$, $y=0$, $z=0$, $x+y+z=3-\sqrt(3)$
ed esterno alla sfera di centro $(1,1,1)$ e raggio $1$ >>
Grazie mille!!!
Risposte
Tu che cosa sei riuscito a fare?
Ne ho fatto uno identico l'altro giorno ma senza la condizione della sfera, sostanzialmente ti consiglio di calcolare il volume del tetraedro (se lo disegni approsimativamente capirai bene come fare, altrimenti chiedi qui), e sottrarre il volume della sfera, che è semplice e non richiede neanche l'integrazione.
"gio73":
Tu che cosa sei riuscito a fare?
Sono riuscito a calcolare il volume del tetraedro e quello della sfera
"Revo_y":
Ne ho fatto uno identico l'altro giorno ma senza la condizione della sfera, sostanzialmente ti consiglio di calcolare il volume del tetraedro (se lo disegni approsimativamente capirai bene come fare, altrimenti chiedi qui), e sottrarre il volume della sfera, che è semplice e non richiede neanche l'integrazione.
Il dubbio è come sottrarre la sfera al tetraedro non essendo inscritta? E' qui che mi sono inceppato. Se poteste aiutarmi su questo punto ve ne sarei grato.
Facendo due conti ci si accorge che la sfera è tangente al piano $x+y+z=3-\sqrt3$
Infatti il centro della sfera dista $\sqrt3$ dall'origine, quindi la sfera "inizia" a $\sqrt3-1$ dall'origine lungo una retta che collega l'origine al centro della sfera.
Questa retta incontra il piano a $x=y=z$ quindi $x+y+z=3-\sqrt3$ risulta in $x=y=z= 1-1/\sqrt3$
e questo punto dista dall'origine
$\sqrt(x^2+y^2+z^2) = \sqrt(3+(1+1/3-2/\sqrt3)) = \sqrt(4-2\sqrt3)=\sqrt3-1$
Quindi, se hai scritto bene i dati del problema, non devi togliere nessun pezzo della sfera dal tetraedro...giusto ?
Infatti il centro della sfera dista $\sqrt3$ dall'origine, quindi la sfera "inizia" a $\sqrt3-1$ dall'origine lungo una retta che collega l'origine al centro della sfera.
Questa retta incontra il piano a $x=y=z$ quindi $x+y+z=3-\sqrt3$ risulta in $x=y=z= 1-1/\sqrt3$
e questo punto dista dall'origine
$\sqrt(x^2+y^2+z^2) = \sqrt(3+(1+1/3-2/\sqrt3)) = \sqrt(4-2\sqrt3)=\sqrt3-1$
Quindi, se hai scritto bene i dati del problema, non devi togliere nessun pezzo della sfera dal tetraedro...giusto ?
Mi pare di capire che qui si sta ragionando come se si dovesse calcolare un volume...
Ma l'integrale da trovare non è \(\displaystyle \int\int\int_V zdxdydz\) (che non è un volume ) ?
Ma forse sto sbagliando alla grande
Ma l'integrale da trovare non è \(\displaystyle \int\int\int_V zdxdydz\) (che non è un volume ) ?
Ma forse sto sbagliando alla grande
Ok, hai ragione ciro, ma si tratta di capire innanzitutto se la sfera interseca davvero il cono o no.
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