Risoluzione integrale senza ricorso a rappresentazione grafica

[curioso54]

Salve. Ho una richiesta particolare.

Io di solito risolvo gli integrali doppi o tripli manipolando algebricamente il dominio di integrazione riducendolo in una forma ove ciascuna variabile ha degli estremi di integrazione, senza ricorrere alla rappresentazione grafica di quest'ultimo.

Poi però mi sono imbattuto in un dominio abbastanza semplice ma che mi ha dato problemi, quindi vorrei capere dove commetto l'errore senza farmi suggerire di disegnare il dominio di integrazione, il quale esula dal mio scopo. Ringrazio chiunque riesca ad evidenziare l'errore algebrico che non riesco a rilevare.

[ingres]

Mi pare che il problema sia nelle considerazioni per cui si è perso 1-x.
In realtà, dato il problema in questione (per semplicità ometto l'uguale nelle disuguaglianze)

1 < x+y < 2 con x >0, y >0

questo diventa

0 < x < 1 : 1-x < y < 2-x in quanto la condizione y > 1-x è più restrittiva
1 < x < 2 : 0 < y < 2-x in quanto la condizione y >0 è più restrittiva

A questo punto l'integrale diventa

[math]\int_0^1\!\int_{1-x}^{2-x}\!\,\mathrm{d}xdy+\int_1^2\!\,\int_0^{2-x}\!\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=[/math]

[math]=\int_0^1\!\left(2-x-\left(1-x\right)\right)\,\mathrm{d}x+\int_1^2\!\left(2-x\right)\,\mathrm{d}x=[/math]

[math]=1+\frac12=\frac32[/math]

[curioso54]

ingres ha scritto:

Mi pare che il problema sia nelle considerazioni per cui si è perso 1-x.
In realtà, dato il problema in questione (per semplicità ometto l'uguale nelle disuguaglianze)

1 < x+y < 2 con x >0, y >0

questo diventa

0 < x < 1 : 1-x < y < 2-x in quanto la condizione y > 1-x è più restrittiva
1 < x < 2 : 0 < y < 2-x in quanto la condizione y >0 è più restrittiva

A questo punto l'integrale diventa

[math]\int_0^1\!\int_{1-x}^{2-x}\!\,\mathrm{d}xdy+\int_1^2\!\,\int_0^{2-x}\!\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=[/math]

[math]=\int_0^1\!\left(2-x-\left(1-x\right)\right)\,\mathrm{d}x+\int_1^2\!\left(2-x\right)\,\mathrm{d}x=[/math]

[math]=1+\frac12=\frac32[/math]

Salve. Ancora non riesco a capire da dove ottieni tutti e due gli intervalli. Mi spieghi il come ma non il perché. Io di solito, quando il dominio è delimitato da vincolo lineari (quindi rette, piani o iperpiani), li riesprimo ad oltranza (ponendo le dovute condizioni) con una variabile in meno (considerandola nulla) fino ad arrivare ad una variabile e poi uso tutte le forme ottenute come estremi di integrazione e lo 0.

Per esempio, se il vincolo è x+y+z<1 e x,y,z>0, il mio iter sarebbe questo

x+y+z<1 ----> z<1-x-y e z>0
x+y<1---> y<1-x e y>0
x<1 e x>0

e in questo caso ho tutti gli estremi di integrazione pronti.

Nel mio caso ottengo un intervallo ma non l'altro. Non so quali condizioni aggiungere, perché algebricamente sembra che torni.

[ingres]

Difficile darti una buona risposta perchè l'esempio che hai fatto mi fa capire bene solo la parte del procedimento nel caso f(x,y,z) < k1, mentre nel problema in oggetto la difformità pare più legata all'approccio per g(x,y,z) > k2.

Comunque, credo che il problema nasca dal fatto che si sottenda che l'estremo di integrazione inferiore sia comunque y=0. L'imposizione che y=0 sia sempre parte del dominio di integrazione è una condizione aggiuntiva rispetto al problema originale, che ovviamente diminuisce il campo delle soluzioni, imponendo automaticamente che risulti 1 < x< 2

Se rimuoviamo tale condizione e imponiamo, ad es., che y =1 sia parte del dominio, allora automaticamente 0 < x < 1. Si trovano così altre soluzioni, assolutamente compatibili ma prima non disponibili.
Estendendo il concetto, ma lavorando stavolta ad x fissato (con 0 < x < 1) , a questo punto si determina l'intervallo mancante.